В треугольнике ABC даны координаты: A(1; 2), B(4; -1), C(7; 6). Найдите длину медианы, проведенной из вершины А (примечание: медиана идет к середине ВС).

Решение:

Медиана, проведенная из вершины А, соединяет вершину А с серединой противолежащей стороны ВС. Обозначим середину ВС как точку М.

1. Найдем координаты точки М — середины отрезка ВС. Координаты середины отрезка находятся как среднее арифметическое координат его концов:
   \[ M_x = \frac{B_x + C_x}{2} = \frac{4 + 7}{2} = \frac{11}{2} \]
   \[ M_y = \frac{B_y + C_y}{2} = \frac{-1 + 6}{2} = \frac{5}{2} \]

   Итак, координаты точки М: \( M(\frac{11}{2}; \frac{5}{2}) \).

2. Теперь найдем длину медианы АМ, используя формулу расстояния между двумя точками \( A(x_1; y_1) \) и \( M(x_2; y_2) \): \( d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} \).
   \[ AM = \sqrt{\left(\frac{11}{2} - 1\right)^2 + \left(\frac{5}{2} - 2\right)^2} \]
   \[ AM = \sqrt{\left(\frac{11}{2} - \frac{2}{2}\right)^2 + \left(\frac{5}{2} - \frac{4}{2}\right)^2} \]
   \[ AM = \sqrt{\left(\frac{9}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} \]
   \[ AM = \sqrt{\frac{81}{4} + \frac{1}{4}} \]
   \[ AM = \sqrt{\frac{82}{4}} \]
   \[ AM = \frac{\sqrt{82}}{\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{82}}{2} \]

Ответ: \( \frac{\sqrt{82}}{2} \).