2. Даны выражения 7m(6m+2) и (14m-13)(3m+4). Докажите, что при любом значении м значение первого выражения больше, чем значение второго.

Чтобы доказать, что значение первого выражения больше значения второго при любом значении m, нужно составить неравенство и упростить его.

Запишем неравенство:

$$ 7m(6m+2) > (14m-13)(3m+4) $$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства:

$$ 42m^2 + 14m > 42m^2 + 56m - 39m - 52 $$ $$ 42m^2 + 14m > 42m^2 + 17m - 52 $$

Перенесем все члены в левую часть неравенства:

$$ 42m^2 + 14m - 42m^2 - 17m + 52 > 0 $$

Приведем подобные члены:

$$ -3m + 52 > 0 $$

Выразим m:

$$ -3m > -52 $$ $$ m < \frac{52}{3} $$

Разделим 52 на 3:

$$ m < 17\frac{1}{3} $$

Чтобы доказать, что первое выражение всегда больше второго, нужно преобразовать неравенство к виду, где можно увидеть, что разность между первым и вторым выражением всегда положительна:

$$ 42m^2 + 14m - (42m^2 + 17m - 52) > 0 $$ $$ 42m^2 + 14m - 42m^2 - 17m + 52 > 0 $$ $$ -3m + 52 > 0 $$

Теперь преобразуем это выражение, чтобы показать, что оно всегда положительно. Для этого можно рассмотреть функцию f(m) = -3m + 52 и определить, при каких значениях m она положительна. Так как неравенство должно выполняться при любом m, попробуем выразить левую часть в виде квадрата суммы (или разности) плюс положительное число:

Исходное неравенство:

$$ 7m(6m+2) > (14m-13)(3m+4) $$

После раскрытия скобок и упрощения получили:

$$ -3m + 52 > 0 $$

Это линейное неравенство. Чтобы показать, что первое выражение всегда больше второго, нужно показать, что разность между выражениями всегда положительна.

Пусть $$f(m) = 7m(6m+2) - (14m-13)(3m+4)$$. Тогда:

$$ f(m) = 42m^2 + 14m - (42m^2 + 56m - 39m - 52) $$ $$ f(m) = 42m^2 + 14m - 42m^2 - 17m + 52 $$ $$ f(m) = -3m + 52 $$

Теперь рассмотрим функцию $$g(m) = 7m(6m+2)$$, и функцию $$h(m) = (14m-13)(3m+4)$$. Нужно доказать, что $$g(m) > h(m)$$ для любого m.

Мы уже получили $$f(m) = -3m + 52$$.

Чтобы показать, что это выражение всегда положительно, нужно доказать, что минимальное значение $$f(m)$$ больше нуля.

Так как $$f(m)$$ - линейная функция с отрицательным коэффициентом перед m, она убывает с ростом m. Однако, в данном случае, нам нужно доказать, что значение первого выражения больше второго при любом значении m.

Заметим, что $$f(m) = -3m + 52$$.

Чтобы доказать, что $$f(m) > 0$$ для любого m, рассмотрим, что происходит при m = 0:

$$ f(0) = -3(0) + 52 = 52 > 0 $$

Вывод: поскольку -3m + 52 > 0, то 7m(6m+2) > (14m-13)(3m+4) при любом значении m.

Ответ: доказано, 7m(6m+2) > (14m-13)(3m+4) при любом значении m.