Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону U = U_0 cos(ωt + φ), где t — время в секундах, амплитуда U_0 = 2 В, частота ω = 150°/с, фаза φ = -90°. Датчик настроен так, что если напряжение в нём не ниже чем 1 В, загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?

Решение:

Закон изменения напряжения: \( U(t) = U_0 \cos(\omega t + \varphi) \).

Дано:

• \( U_0 = 2 \) В
• \( \omega = 150^{\circ}/с \)
• \( \varphi = -90^{\circ} \)
• Напряжение не ниже \( 1 \) В.
• Интервал времени: первая секунда \( t \in [0, 1] \).

Подставим известные значения в формулу:

\[ U(t) = 2 \cos(150^{\circ}t - 90^{\circ}) \]

Лампочка загорается, если \( U(t) \ge 1 \) В.

\[ 2 \cos(150^{\circ}t - 90^{\circ}) \ge 1 \]

\[ \cos(150^{\circ}t - 90^{\circ}) \ge \frac{1}{2} \]

Рассмотрим интервал \( t \in [0, 1] \). Соответствующий интервал для аргумента косинуса:

\[ 150^{\circ} \cdot 0 - 90^{\circ} \le 150^{\circ}t - 90^{\circ} \le 150^{\circ} \cdot 1 - 90^{\circ} \]

\[ -90^{\circ} \le 150^{\circ}t - 90^{\circ} \le 60^{\circ} \]

Пусть \( \alpha = 150^{\circ}t - 90^{\circ} \). Условие \( \cos(\alpha) \ge \frac{1}{2} \) выполняется, когда \( -60^{\circ} \le \alpha \le 60^{\circ} \) (с учётом выбранного интервала для \( \alpha \)).

Таким образом, нам нужно, чтобы:

\[ -60^{\circ} \le 150^{\circ}t - 90^{\circ} \le 60^{\circ} \]

Решим двойное неравенство:

\[ -60^{\circ} + 90^{\circ} \le 150^{\circ}t \le 60^{\circ} + 90^{\circ} \]

\[ 30^{\circ} \le 150^{\circ}t \le 150^{\circ} \]

\[ \frac{30^{\circ}}{150^{\circ}} \le t \le \frac{150^{\circ}}{150^{\circ}} \]

\[ 0.2 \le t \le 1 \]

Интервал времени, когда лампочка горит, составляет \( 1 - 0.2 = 0.8 \) секунды.

Найдём, какую часть времени (в процентах) это составляет от первой секунды:

\[ \frac{0.8 \text{ с}}{1 \text{ с}} \cdot 100\% = 80\% \]

Ответ: 80%