25. Дайте развернутый ответ. Середина M стороны AD выпуклого четырёхугольника ABCD равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если BC=12, а углы B и C четырёхугольника равны соответственно 115° и 95°.

Дано: Четырехугольник ABCD, M - середина AD, MA=MB=MC=MD, BC=12, ∠B=115°, ∠C=95°.

Найти: AD.

Решение:

1. Т.к. MA=MD, то ΔAMD - равнобедренный, и середина AD равноудалена от вершин A и D.

2. Т.к. MA=MB=MC=MD, то точки A, B, C, D лежат на окружности с центром в точке M и радиусом MA.

3. ∠B + ∠D = 180° и ∠C + ∠A = 180° (свойство вписанного четырёхугольника). Т.к. ∠B = 115°, то ∠D = 180° - 115° = 65°. Т.к. ∠C = 95°, то ∠A = 180° - 95° = 85°.

4. Рассмотрим треугольник ΔАВМ: AM = BM, следовательно, ΔАВМ - равнобедренный, ∠А = 85° - известный угол. Отсюда: ∠ABM = ∠BAM = (180° - 85°) / 2 = 47.5°.

5. Рассмотрим треугольник ΔCDM: CM = DM, следовательно, ΔCDM - равнобедренный, ∠D = 65° - известный угол. Отсюда: ∠DCM = ∠CDM = (180° - 65°) / 2 = 57.5°.

6. ∠MBC = ∠ABC - ∠ABM = 115° - 47.5° = 67.5°. ∠MCB = ∠BCD - ∠DCM = 95° - 57.5° = 37.5°.

7. Рассмотрим треугольник ΔMBC: ∠BMC = 180° - ∠MBC - ∠MCB = 180° - 67.5° - 37.5° = 75°.

8. По теореме синусов для треугольника ΔMBC: $$\frac{BC}{\sin{\angle BMC}} = \frac{MC}{\sin{\angle MBC}}$$ $$\frac{12}{\sin{75°}} = \frac{MC}{\sin{67.5°}}$$ $$MC = \frac{12 \cdot \sin{67.5°}}{\sin{75°}}$$ Зная, что $$\sin{75°} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$$ и $$\sin{67.5°} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$$, получаем: $$MC = \frac{12 \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{24 \cdot \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$$ $$MC = \frac{24 \cdot \sqrt{2 + \sqrt{2}} \cdot (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})} = \frac{24 \cdot \sqrt{2 + \sqrt{2}} \cdot (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{6 - 2} = 6 \cdot \sqrt{2 + \sqrt{2}} \cdot (\sqrt{6} - \sqrt{2})$$ $$MC = 6(\sqrt{12 + 6\sqrt{2}} - \sqrt{4 + 2\sqrt{2}})$$

9. Т.к. M - середина AD, то AD = 2 * AM. AM = MC (по условию). Следовательно, AD = 2 * MC.

10. $$AD = 2 \cdot MC = 2 \cdot \frac{12 \cdot \sin{67.5°}}{\sin{75°}} = \frac{24 \cdot \sin{67.5°}}{\sin{75°}} = 12 \sqrt{2}$$.

Ответ: AD = $$12\sqrt{2}$$