Решение задания 423

Раскроем скобки и упростим выражение:

$$ (5n + 7)^2 - n^2 - 2n - 1 = 25n^2 + 70n + 49 - n^2 - 2n - 1 = 24n^2 + 68n + 48 $$

Вынесем общий множитель 4 из выражения:

$$ 24n^2 + 68n + 48 = 4(6n^2 + 17n + 12) $$

Чтобы выражение делилось на 48, необходимо, чтобы выражение в скобках делилось на 12 при любом натуральном n.

Проверим при n = 1: 6(1)² + 17(1) + 12 = 6 + 17 + 12 = 35. 35 не делится на 12.

Следовательно, выражение не делится на 48 при любом натуральном n.

Ответ: нет, не делится.