19.1 Диагональ АС ромба ABCD равна 48, a tgBCA = \(\frac{7}{24}\). Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

\(\)Рассмотрим ромб \(ABCD\). Пусть \(AC = 48\) и \(\tg \angle BCA = \frac{7}{24}\). \(\)Обозначим точку пересечения диагоналей ромба как \(O\). Тогда \(AO = \frac{AC}{2} = \frac{48}{2} = 24\). \(\)В прямоугольном треугольнике \(BOC\) имеем \(\tg \angle BCA = \frac{BO}{OC}\), где \(OC = AO\). \(\)Таким образом, \(\tg \angle BCA = \frac{BO}{24} = \frac{7}{24}\). \(\)Отсюда \(BO = 7\). \(\)Диагональ \(BD = 2 \cdot BO = 2 \cdot 7 = 14\). \(\)Сторона ромба \(BC\) может быть найдена по теореме Пифагора из треугольника \(BOC\): \(BC = \sqrt{BO^2 + OC^2} = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25\). \(\)Площадь ромба \(S\) равна половине произведения его диагоналей: \(S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 48 \cdot 14 = 24 \cdot 14 = 336\). \(\)Также площадь ромба можно выразить как произведение стороны на высоту: \(S = BC \cdot h\), где \(h\) - высота ромба. \(\)Высота ромба равна двум радиусам вписанной окружности: \(h = 2r\). \(\)Таким образом, \(S = BC \cdot 2r\), и \(r = \frac{S}{2 \cdot BC} = \frac{336}{2 \cdot 25} = \frac{336}{50} = 6.72\).

Ответ: 6.72

Проверка за 10 секунд: Радиус вписанной окружности равен половине высоты ромба.

Доп. профит: Знание свойств ромба и умение работать с тангенсом угла позволяют быстро решить задачу.