3Диагональ АС ромба ABCD равна 30, a tgBCA = Найдите радиус окружности, вписанной в ромб. 4 3

Разбираемся:

Шаг 1: Находим сторону ромба.

Пусть О - точка пересечения диагоналей ромба. Тогда треугольник AOC - прямоугольный, где AC = 30, значит OC = 15. Тангенс угла BCA равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

\[tg\angle BCA = \frac{AO}{OC}\]

Тогда:

\[AO = OC \cdot tg\angle BCA = 15 \cdot \frac{4}{3} = 20\]

По теореме Пифагора найдем сторону ромба AB:

\[AB = \sqrt{AO^2 + OC^2} = \sqrt{20^2 + 15^2} = \sqrt{400 + 225} = \sqrt{625} = 25\]

Шаг 2: Находим площадь ромба.

Площадь ромба можно найти как половину произведения его диагоналей:

В данном случае диагональ BD = 2 * AO:

\[BD = 2 \cdot 20 = 40\]

Площадь ромба равна:

\[S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 40 = 600\]

Шаг 3: Находим радиус вписанной окружности.

Площадь ромба также можно найти как произведение стороны на высоту (а высота равна двум радиусам вписанной окружности):

\[S = AB \cdot 2r\]

Тогда радиус r равен:

\[r = \frac{S}{2AB} = \frac{600}{2 \cdot 25} = \frac{600}{50} = 12\]

Высота ромба:

\[h = 2r = 2 \cdot 12 = 24\]

Радиус равен половине высоты:

\[r = \frac{h}{2} = \frac{24}{2} = 12\]