1 Диагональ АС ромба ABCD равна 16, а tgBCA = 0,75. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Разбираемся:

Шаг 1: Находим сторону ромба.

Пусть О - точка пересечения диагоналей ромба. Тогда треугольник AOC - прямоугольный, где AC = 16, значит OC = 8. Тангенс угла BCA равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

\[tg\angle BCA = \frac{AO}{OC}\]

Тогда:

\[AO = OC \cdot tg\angle BCA = 8 \cdot 0.75 = 6\]

По теореме Пифагора найдем сторону ромба AC:

\[AB = \sqrt{AO^2 + OC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\]

Шаг 2: Находим площадь ромба.

Площадь ромба можно найти как половину произведения его диагоналей:

\[S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 12 = 96\]

Шаг 3: Находим радиус вписанной окружности.

Площадь ромба также можно найти как произведение стороны на высоту (а высота равна двум радиусам вписанной окружности):

\[S = AB \cdot 2r\]

Тогда радиус r равен:

\[r = \frac{S}{2AB} = \frac{96}{2 \cdot 10} = \frac{96}{20} = 4.8\]