Диагональ осевого сечения цилиндра равна 8√2 дм и образует с плоскостью основания цилиндра угол 45°. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

Пусть дана диагональ осевого сечения цилиндра, равная $$d = 8\sqrt{2}$$ дм, и угол между диагональю и плоскостью основания, равный $$45^\circ$$. Нужно найти площадь полной поверхности цилиндра.

Осевое сечение цилиндра - это прямоугольник, у которого одна сторона - высота цилиндра $$h$$, а другая - диаметр основания $$2R$$.

Диагональ прямоугольника равна $$8\sqrt{2}$$ дм и образует угол $$45^\circ$$ с основанием. Тогда прямоугольник является квадратом (т.к. угол 45°), и высота равна диаметру основания:

$$h = 2R$$

Так как осевое сечение - квадрат со стороной $$2R$$, его диагональ равна:

$$d = 2R\sqrt{2}$$

$$8\sqrt{2} = 2R\sqrt{2}$$

$$2R = 8$$ дм

Радиус основания равен:

$$R = \frac{8}{2} = 4$$ дм

Высота цилиндра равна:

$$h = 2R = 8$$ дм

Площадь полной поверхности цилиндра:

$$S = 2\pi R(R + h) = 2\pi \cdot 4 (4 + 8) = 8\pi \cdot 12 = 96\pi$$ дм$$^2$$

Ответ: Площадь полной поверхности цилиндра равна $$96\pi$$ дм².