Диагональ правильной четырехугольной призмы равна 18 см и образует с боковой гранью угол 30°. Вычисли площадь основания призмы.

Разберем решение этой задачи по шагам. 1. Представим призму: Представим правильную четырехугольную призму $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Основанием является квадрат $ABCD$. Диагональ призмы, например, $AC_1 = 18$ см, образует угол $30^circ$ с боковой гранью, то есть с прямой $CC_1$. 2. Введем обозначения: Пусть сторона основания призмы равна $a$, а высота призмы равна $h$. 3. Выразим диагональ основания: Диагональ основания $AC$ выражается через сторону $a$ как $AC = asqrt{2}$ (по теореме Пифагора в квадрате). 4. Рассмотрим прямоугольный треугольник: Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACC_1$. В этом треугольнике гипотенуза $AC_1 = 18$ см, а угол между гипотенузой и катетом $CC_1$ равен $30^circ$. Тогда можно записать: * $CC_1 = AC_1 cdot cos(30^circ)$, то есть $h = 18 cdot rac{sqrt{3}}{2} = 9sqrt{3}$ см. * $AC = AC_1 cdot sin(30^circ)$, то есть $asqrt{2} = 18 cdot rac{1}{2} = 9$ см. 5. Найдем сторону основания: Выразим сторону основания $a$: $a = rac{9}{sqrt{2}} = rac{9sqrt{2}}{2}$ см. 6. Найдем площадь основания: Площадь основания $S$ (квадрата) равна $a^2$: $S = a^2 = left(rac{9sqrt{2}}{2} ight)^2 = rac{81 cdot 2}{4} = rac{81}{2} = 40.5$ см$^2$. Ответ: площадь основания призмы равна 40.5 см².