Диагональ правильной четырёхугольной призмы равна 4 см и составляет с плоскостью боковой грани угол 30 °. Найдите объём призмы.

Ответ: 6 см

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Обозначим сторону основания призмы за \(a\), а высоту - за \(h\). Диагональ призмы равна 4 см. Угол между диагональю и плоскостью боковой грани равен 30°.
• Шаг 2: Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю призмы, высотой и диагональю основания. \(\sin(30^\circ) = \frac{a}{4}\) \(\frac{1}{2} = \frac{a}{4}\) \(a = 2\) см
• Шаг 3: Найдём высоту призмы. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю призмы, боковым ребром и диагональю основания. \(d_{осн} = a\sqrt{2} = 2\sqrt{2}\) \(h^2 = 4^2 - (2\sqrt{2})^2 = 16 - 8 = 8\) \(h = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\) см
• Шаг 4: Найдём объём призмы: \(V = a^2 \cdot h = 2^2 \cdot 2\sqrt{2} = 8\sqrt{2}\) см³

Ответ: 6 см