Диагональ прямоугольного параллелепипеда составляет угол α с плоскостью боковой грани и угол β с плоскостью основания. Найдите объем параллелепипеда, если его высота равна h.

Пусть дан прямоугольный параллелепипед с высотой h. Обозначим стороны основания как a и b. Диагональ параллелепипеда составляет угол α с плоскостью боковой грани, содержащей сторону h, и угол β с плоскостью основания.

Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле: $$V = a \cdot b \cdot h$$

Нам нужно выразить стороны a и b через известные величины (h, α, β). Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю параллелепипеда d, диагональю основания d_осн и высотой h. Тогда:

$$d_{осн} = d \cdot cos(β)$$

$$h = d \cdot sin(β)$$

Отсюда, выразим диагональ d: $$d = \frac{h}{sin(β)}$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю боковой грани d_бок, высотой h и стороной a. Угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью боковой грани равен α. Тогда:

$$b = d_{осн} \cdot cos(γ)$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю d, стороной b и катетом, лежащим в основании. Обозначим этот катет как a. Угол между диагональю и плоскостью боковой грани равен α. Тогда:

$$a = h \cdot ctg(α)$$

Найдем сторону b. Она связана с диагональю основания и стороной a через теорему Пифагора:

$$d_{осн}^2 = a^2 + b^2$$

$$(\frac{h \cdot cos(β)}{sin(β)})^2 = (h \cdot ctg(α))^2 + b^2$$

$$b^2 = h^2 \cdot ctg^2(β) - h^2 \cdot ctg^2(α)$$ $$b^2 = h^2 (ctg^2(β) - ctg^2(α))$$

$$b = h \cdot \sqrt{ctg^2(β) - ctg^2(α)}$$

Теперь мы можем найти объем параллелепипеда:

$$V = a \cdot b \cdot h = h \cdot ctg(α) \cdot h \cdot \sqrt{ctg^2(β) - ctg^2(α)} \cdot h$$

$$V = h^3 \cdot ctg(α) \cdot \sqrt{ctg^2(β) - ctg^2(α)}$$

Ответ: $$V = h^3 \cdot ctg(α) \cdot \sqrt{ctg^2(β) - ctg^2(α)}$$