Диагональ равнобедренной трапеции образует с её основанием угол 45°. Найдите высоту трапеции, если основания равны 3 и 7.

Анализ:

• В равнобедренной трапеции боковые стороны равны, а углы при каждом основании равны.
• Диагональ, основание и боковая сторона образуют треугольник.
• Если провести высоту из вершины верхнего основания к нижнему основанию, то образуется прямоугольный треугольник.
• В этом прямоугольном треугольнике угол при основании равен 45°. Следовательно, это равнобедренный прямоугольный треугольник.
• В таком треугольнике катеты равны. Один катет — это высота трапеции (h), другой катет — часть нижнего основания.

Решение:

1. Находим отрезок нижнего основания, прилегающий к диагонали:
• Пусть основания трапеции равны a = 3 (верхнее) и b = 7 (нижнее).
• Проведем из вершин верхнего основания две высоты к нижнему основанию.
• Нижнее основание разделится на три отрезка: x, a, x.
• b = x + a + x
• 7 = 2x + 3
• 2x = 7 - 3
• 2x = 4
• x = 2.
• Таким образом, отрезок нижнего основания, который является катетом прямоугольного треугольника, образованного диагональю, высотой и частью основания, равен 2.
2. Рассматриваем прямоугольный треугольник, образованный диагональю, высотой и отрезком нижнего основания (равным 2).
• Угол при нижнем основании равен 45°.
• В прямоугольном треугольнике, если один из острых углов равен 45°, то второй острый угол также равен 45° (90° - 45° = 45°).
• Это означает, что треугольник равнобедренный.
• Катеты такого треугольника равны.
• Высота трапеции (h) является одним катетом, а отрезок нижнего основания (2) — другим катетом.
• Следовательно, h = 2.

Ответ: 2