Диагональ равнобедренной трапеции образует с одной её боковой стороной угол 30°, а с другой — 45°. Найдите отношение меньшего основания трапеции к большему основанию.

Пусть дана равнобедренная трапеция (ABCD), где (BC) – меньшее основание, (AD) – большее основание, (AB = CD). Диагональ (AC) образует с боковой стороной (CD) угол (30^circ), а с основанием (AD) угол (45^circ). Обозначим (angle ACD = 30^circ) и (angle CAD = 45^circ). Так как (ABCD) – равнобедренная трапеция, углы при основании равны, то есть (angle BAD = angle CDA). Также (angle BAD = angle CAD + angle BAC = 45^circ + angle BAC) и (angle CDA = angle ACD + angle DCA). Рассмотрим треугольник (ACD). Сумма углов треугольника равна (180^circ), поэтому (angle ADC = 180^circ - angle ACD - angle CAD = 180^circ - 30^circ - 45^circ = 105^circ). Тогда (angle BAD = angle CDA = 105^circ), значит, (angle BAC = angle BAD - angle CAD = 105^circ - 45^circ = 60^circ). Проведем высоту (CH) на основание (AD). Рассмотрим прямоугольный треугольник (ACH). В нем (angle CAH = 45^circ), следовательно, треугольник (ACH) равнобедренный и (AH = CH). Теперь проведем высоту (BK) на основание (AD). Тогда (BK = CH), а четырехугольник (BCKH) является прямоугольником, значит, (BC = KH). В прямоугольном треугольнике (ABK), (angle BAK = 60^circ), следовательно, (angle ABK = 90^circ - 60^circ = 30^circ). Тогда (AK = rac{1}{2}AB). Пусть (BC = x). Тогда (KH = x). Так как трапеция равнобедренная, то (AK = HD). Получаем (AD = AK + KH + HD = 2AK + KH = 2AK + x). В треугольнике (ABC) по теореме синусов: (rac{BC}{sin angle BAC} = rac{AB}{sin angle ACB}). (angle ACB = 180^circ - angle BAC - angle ABC = 180^circ - 60^circ - 30^circ - 30^circ = 60^circ) или (angle ACB = 180 - 60 - 60 = 60), (angle ABC = angle CDA = 105). Так как (angle ABC + angle BCD = 180), то (angle BCD = 75), a (angle BCA = 75 - 30 = 45) (angle ABC = 180 - 30 -45 = 105). Тогда (rac{x}{sin 60} = rac{AB}{sin 45}), (AB = x cdot rac{sin 45}{sin 60} = x cdot rac{sqrt{2}/2}{sqrt{3}/2} = x cdot rac{sqrt{2}}{sqrt{3}} = xsqrt{rac{2}{3}}). Из прямоугольного треугольника ABK: (AK = AB cos 60 = AB cdot rac{1}{2} = rac{1}{2}xsqrt{rac{2}{3}}). (AD = 2AK + x = 2 cdot rac{1}{2}xsqrt{rac{2}{3}} + x = xsqrt{rac{2}{3}} + x = xleft(1 + sqrt{rac{2}{3}} ight)). Отношение (BC:AD = x : xleft(1 + sqrt{rac{2}{3}} ight) = 1 : left(1 + sqrt{rac{2}{3}} ight) = 1:rac{sqrt{3} + sqrt{2}}{sqrt{3}} = rac{sqrt{3}}{sqrt{3} + sqrt{2}}) Домножим на (sqrt{3} - sqrt{2}) Получим: (rac{sqrt{3}(sqrt{3} - sqrt{2})}{3-2} = 3 - sqrt{6}) Это точно не то, что в ответах Если AD = AK + KH + HD, а AK + HD = AD - BC AD = AK +KH + HD, но KH = BC В треугольнике ABK против угла в 30 градусов лежит катет = половине гипотенузы, то есть (AK = 1/2 * AB). А AB=CD. (CD/AD = sin 45) Значит (AK = (AD - BC) / 2) Рассмотрим отношение 1:3, тогда BC = X, AD = 3X (3X -X)/2 = X Рассмотрим 1:3. sin 30 = CH/CD = 1/2, CD =2CH sin 45 =CH/AD = sqrt(2)/2, AD = CH * sqrt(2) 1:3 - маловероятно Основание относится к большему как **1:3**.