Диагональ равнобедренной трапеции равна 35 см, средняя линия — 21 см. Определи расстояние между основаниями трапеции.

Давайте решим эту задачу. Нам нужно найти высоту равнобедренной трапеции, зная длину диагонали и средней линии. Обозначим основания трапеции как (a) и (b), где (a) - большее основание, (b) - меньшее основание. Средняя линия трапеции (m) равна полусумме оснований: \[ m = \frac{a + b}{2} \] Из условия задачи известно, что (m = 21) см. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой трапеции (h), диагональю (d = 35) см и отрезком на большем основании, равным полуразности оснований (\frac{a - b}{2}\). По теореме Пифагора, имеем: \[ h^2 + \left(\frac{a - b}{2}\right)^2 = d^2 \] Мы знаем, что (\frac{a + b}{2} = 21\), следовательно, (a + b = 42). Также мы можем выразить (\frac{a - b}{2}\) через среднюю линию и основания: \[ \frac{a - b}{2} = \frac{a + b}{2} - b = 21 - b \] Или \[ \frac{a - b}{2} = a - \frac{a + b}{2} = a - 21 \] Однако, нам удобнее использовать другой подход. Заметим, что \[ \left(\frac{a - b}{2}\right)^2 = \left(\frac{a + b}{2}\right)^2 - ab \] Но это не помогает напрямую. Вместо этого, рассмотрим прямоугольный треугольник, где гипотенуза - диагональ (35 см), а один из катетов - высота (h), а другой катет равен (\frac{a-b}{2}\). Мы знаем, что ( \frac{a+b}{2} = 21 \). Давайте выразим (\frac{a-b}{2}\) через известные величины. Рассмотрим, что \[ \left(\frac{a-b}{2}\right)^2 + h^2 = 35^2 \] Также заметим, что \[ \frac{a-b}{2} = x \] Тогда (a = 21 + x) и (b = 21 - x). Тогда из теоремы Пифагора: \[ h^2 + x^2 = 35^2 \] Нужно найти (x). Рассмотрим прямоугольный треугольник. Если опустить высоту из вершины верхнего основания на нижнее, то получим прямоугольный треугольник с гипотенузой 35 и катетами h и x, где x = (a-b)/2 Тогда, x = \sqrt{35^2 - h^2} Также, средняя линия равна 21, что равно (a+b)/2. Нужно найти h. Пусть a = 21 + x, b = 21 - x Подставим в формулу средней линии: (21 + x + 21 - x)/2 = 21. Все верно. Так как трапеция равнобедренная, то диагонали равны. Можно воспользоваться формулой h = \sqrt{d^2 - (\frac{a-b}{2})^2}. Но мы знаем, что a-b = 2x. Значит, h = \sqrt{35^2 - x^2} Однако, без дополнительных данных (например, угла) решить задачу невозможно. Попробуем предположить, что трапеция является прямоугольником, тогда высота равна 35. Но тогда средняя линия тоже должна быть равна 35, а у нас 21. Попробуем другой подход. Мы знаем, что средняя линия равна полусумме оснований: (a+b)/2 = 21 => a+b = 42. Пусть разность оснований a-b = y. Тогда a = (42 + y)/2, b = (42 - y)/2 Тогда h^2 + (y/2)^2 = 35^2 => h = \sqrt{35^2 - (y/2)^2} = \sqrt{1225 - (y^2/4)}. Кажется, что задача сформулирована некорректно или не хватает данных для ее решения. В условии задачи, скорее всего, должно быть указано, что трапеция прямоугольная. Если предположить, что трапеция прямоугольная, то высота равна боковой стороне. Но это все равно не дает нам решения. Похоже, что в условии задачи что-то пропущено, и без дополнительной информации решить ее невозможно. Наиболее вероятно, что нужно воспользоваться каким-то свойством равнобедренной трапеции, которое здесь не учтено. К сожалению, без дополнительной информации я не могу точно решить эту задачу. Скорее всего, требуется знать угол между диагональю и основанием. **Ответ: Информации недостаточно для решения задачи.** _Примечание: В реальности стоит пересмотреть условие задачи и, возможно, запросить дополнительные данные._