6. Диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна боковой стороне, а угол между боковой стороной и высотой трапеции равен α. Найдите радиус окружности, описанной около трапеции, если её высота равна h.

Обозначим трапецию ABCD, где AD и BC - основания, AB = CD, AC - диагональ. Из условия задачи AC ⊥ CD и угол между боковой стороной CD и высотой равен α. Пусть O - центр описанной окружности, R - ее радиус. Т.к. диагональ AC перпендикулярна боковой стороне CD, то ∠ACD = 90°. Т.к. трапеция равнобокая, ∠ADC = ∠BAD, ∠BCD = ∠ABC. Т.к. AC ⊥ CD, то ∠ACD = 90°, следовательно, ∠DAC = 90° - ∠ADC. В трапеции ABCD ∠ADC + ∠BCD = 180°, ∠BAD + ∠ABC = 180°. Опустим высоту CE на основание AD. Тогда ∠DCE = α. В прямоугольном треугольнике CDE имеем CE = h. CD = CE / sin(α) = h / sin(α). Т.к. AC ⊥ CD, то CD - касательная к описанной окружности. Следовательно, CD является хордой, стягивающей дугу, равную 2α. Тогда радиус описанной окружности равен: R = CD / (2sin(α)) = (h / sin(α)) / (2sin(α)) = h / (2sin²(α)) Ответ: Радиус окружности, описанной около трапеции, равен h / (2sin²(α)).