3. Диагонали АС и BD трапеции АВСD с основаниями ВС и AD пересекаются в точке O, BC=7, AD=9, АС=32. Найдите АО.

Ответ: 18

Решение:

Треугольники BOC и DOA подобны, так как BC || AD. Значит, стороны пропорциональны:

\[\frac{BO}{OD} = \frac{BC}{AD} = \frac{7}{9}\]

Пусть BO = 7x, тогда OD = 9x.

Треугольники AOB и COD также подобны. Значит:

\[\frac{AO}{OC} = \frac{AD}{BC} = \frac{9}{7}\]

Пусть АО = 9y, тогда ОС = 7y.

Известно, что АС = 32. Значит:

\[AO + OC = 32\]

\[9y + 7y = 32\]

\[16y = 32\]

\[y = 2\]

Тогда АО = 9y = 9 * 2 = 18.

Ответ: 18