Решение задачи 936

Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Рассмотрим, равны ли векторы в каждом из предложенных случаев.

1. а) \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{DC}\)

   Векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{DC}\) лежат на параллельных прямых (по свойству параллелограмма), имеют одинаковую длину (по свойству параллелограмма) и сонаправлены. Следовательно, \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\).

2. б) \(\overrightarrow{BC}\) и \(\overrightarrow{DA}\)

   Векторы \(\overrightarrow{BC}\) и \(\overrightarrow{DA}\) лежат на параллельных прямых (по свойству параллелограмма), имеют одинаковую длину (по свойству параллелограмма), но направлены в противоположные стороны. Следовательно, \(\overrightarrow{BC} = -\overrightarrow{DA}\), то есть они не равны.

3. в) \(\overrightarrow{AO}\) и \(\overrightarrow{OC}\)

   Векторы \(\overrightarrow{AO}\) и \(\overrightarrow{OC}\) лежат на одной прямой (диагонали параллелограмма), имеют одинаковую длину (по свойству параллелограмма, диагонали в точке пересечения делятся пополам) и сонаправлены. Следовательно, \(\overrightarrow{AO} = \overrightarrow{OC}\).

4. г) \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{BD}\)

   Векторы \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{BD}\) не лежат на параллельных прямых и имеют разную длину (если ABCD не является прямоугольником). Следовательно, векторы \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{BD}\) не равны.

Ответ:

• а) \(\overrightarrow{AB}\) = \(\overrightarrow{DC}\) - равны
• б) \(\overrightarrow{BC}\) ≠ \(\overrightarrow{DA}\) - не равны
• в) \(\overrightarrow{AO}\) = \(\overrightarrow{OC}\) - равны
• г) \(\overrightarrow{AC}\) ≠ \(\overrightarrow{BD}\) - не равны