Решение задачи 1

В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, треугольник AOB равнобедренный (AO = BO). В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит, $$∠BAO = ∠ABO = 30°$$.

Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому $$∠AOB = 180° - ∠BAO - ∠ABO = 180° - 30° - 30° = 120°$$.

Угол между диагоналями может быть либо ∠AOB, либо смежный с ним угол. Смежные углы в сумме дают 180°, поэтому смежный угол равен $$180° - ∠AOB = 180° - 120° = 60°$$.

Ответ: Угол между диагоналями равен 60° или 120°.

Решение задачи 2

a) Доказательство

В параллелограмме противоположные стороны параллельны, значит, $$KP || MN$$. Угол $$∠KEM$$ является внутренним накрест лежащим углом с углом $$∠MKE$$, поэтому $$∠KEM = ∠MKE$$.

$$KE$$ - биссектриса угла $$∠MKP$$, значит, $$∠MKE = ∠EKP$$.

Следовательно, $$∠KEM = ∠EKP$$.

В треугольнике KME два угла равны, значит, он равнобедренный.

б) Нахождение стороны KP

Так как треугольник KME равнобедренный, то $$KM = ME = 10 ext{ см}$$.

Периметр параллелограмма равен $$2 cdot (KM + KP) = 52 ext{ см}$$.

Подставим известное значение KM: $$2 cdot (10 + KP) = 52$$.

Разделим обе части уравнения на 2: $$10 + KP = 26$$.

Выразим KP: $$KP = 26 - 10 = 16 ext{ см}$$.

Ответ: Сторона KP равна 16 см.