7. Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке O. Перпендикуляр AM, опущенный на диагональ BD, разбивает отрезок OB на части: OM = 12 см и BM = 3 см. Чему равны перпендикуляр AM и сторона AB?

Так как $$OM = 12$$ и $$BM = 3$$, то $$OB = OM + MB = 12 + 3 = 15$$. Поскольку диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, то $$BD = 2 cdot OB = 2 cdot 15 = 30$$, и $$AO = OB = 15$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AMO$$. По теореме Пифагора, $$AM^2 + OM^2 = AO^2$$$$AM^2 + 12^2 = 15^2$$$$AM^2 + 144 = 225$$$$AM^2 = 225 - 144 = 81$$$$AM = \sqrt{81} = 9.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$AMB$$. По теореме Пифагора, $$AB^2 = AM^2 + BM^2$$$$AB^2 = 9^2 + 3^2$$$$AB^2 = 81 + 9 = 90$$$$AB = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}.$$