Решение задачи №1

Рассмотрим прямоугольник AKTO, диагонали которого пересекаются в точке O. Угол QAT равен 30°, а сторона AT равна 18 см. Требуется найти периметр треугольника TOQ.

Шаг 1: В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, AO = OT = OQ = OK.

Шаг 2: Рассмотрим треугольник AOT. Он равнобедренный, так как AO = OT. Значит, углы при основании AT равны: ∠OTA = ∠OAT = 30°.

Шаг 3: Угол AOT является внешним углом треугольника AOT и равен сумме двух других углов, не смежных с ним: ∠AOT = ∠OTA + ∠OAT = 30° + 30° = 60°.

Шаг 4: Так как треугольник AOT равнобедренный и ∠AOT = 60°, то этот треугольник равносторонний. Следовательно, AO = OT = AT = 18 см.

Шаг 5: Так как OQ = OT = AO = 18 см, то треугольник TOQ тоже равносторонний, и все его стороны равны 18 см.

Шаг 6: Периметр треугольника TOQ равен сумме длин всех его сторон: P = TO + OQ + QT = 18 + 18 + 18 = 54 см.

Ответ: Периметр треугольника TOQ равен 54 см.

Решение задачи №2

Дан прямоугольник KRTN, периметр которого равен 30 см. Биссектрисы углов K и N пересекаются в точке D, принадлежащей стороне RT. Требуется найти стороны прямоугольника.

Шаг 1: Обозначим стороны прямоугольника KR = NT = x, а KN = RT = y. Периметр прямоугольника равен 2(x + y) = 30 см, следовательно, x + y = 15 см.

Шаг 2: Рассмотрим треугольник KND. Так как KD и ND - биссектрисы углов K и N соответственно, то ∠NKD = ∠RKN / 2 = 45° и ∠KND = ∠TNK / 2 = 45° (так как углы прямоугольника равны 90°).

Шаг 3: В треугольнике KND углы при основании KN равны, следовательно, треугольник KND равнобедренный, и KN = KD. Так как KN = y, то KD = y.

Шаг 4: Рассмотрим прямоугольный треугольник KRD. В нем KD - гипотенуза, а KR и RD - катеты. Так как KD - биссектриса, то ∠RKD = 45°, следовательно, треугольник KRD равнобедренный и KR = RD = x. Значит, x = y.

Шаг 5: Подставим x = y в уравнение x + y = 15: x + x = 15, 2x = 15, x = 7.5 см. Следовательно, y = 7.5 см.

Ответ: Стороны прямоугольника KRTN равны 7.5 см и 7.5 см. Таким образом, KRTN - квадрат.