3. Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке О, АВ=13 см, BD=10см. Найдите АС и площадь ромба

Диагонали ромба перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABO, где AB - гипотенуза, AO и BO - катеты.

BO = BD / 2 = 10 / 2 = 5 см.

По теореме Пифагора:

$$AO = \sqrt{AB^2 - BO^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$$

AC = 2 * AO = 2 * 12 = 24 см.

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:

$$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 10 = 120$$

Ответ: AC = 24 см, S = 120 кв.см