Диагонали ромба относятся как 3:4, а площадь ромба равна 24 см². Найдите периметр ромба.

Решение:

Пусть диагонали ромба равны \( 3x \) и \( 4x \). Площадь ромба можно вычислить по формуле \( S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \).

1. Подставим известные значения: \( 24 = \frac{1}{2} \cdot (3x) \cdot (4x) \).
2. Решим уравнение: \( 24 = \frac{1}{2} \cdot 12x^2 \) \( \implies 24 = 6x^2 \) \( \implies x^2 = 4 \) \( \implies x = 2 \) (так как \( x \) — длина, она положительна).
3. Найдём длины диагоналей: \( d_1 = 3x = 3 \cdot 2 = 6 \) см, \( d_2 = 4x = 4 \cdot 2 = 8 \) см.
4. Диагонали ромба делятся в точке пересечения пополам и перпендикулярны друг другу. Таким образом, они образуют четыре прямоугольных треугольника с катетами \( \frac{d_1}{2} = 3 \) см и \( \frac{d_2}{2} = 4 \) см.
5. Найдем длину стороны ромба (гипотенузу треугольника) по теореме Пифагора: \( a^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \) \( \implies a = 5 \) см.
6. Периметр ромба равен \( P = 4a \).
7. Вычислим периметр: \( P = 4 \cdot 5 = 20 \) см.

Ответ: 20 см.