59 Диагонали трапеции ABCD с основаниями АВ и СП ются в точке О. Найдите: а) АВ, если ОВ=4см, DC = 25 см; б) AO и BO , если АВ=a, DC=b, OC OD' АВ= 9,6 дм, DC = 24 см, АС = 15 см.

а) Пусть ABCD - трапеция, AB и DC - основания, O - точка пересечения диагоналей. Треугольники AOB и COD подобны по двум углам (углы при основаниях равны как внутренние накрест лежащие, вертикальные углы равны). Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:

$$\frac{AB}{DC} = \frac{OB}{OD}$$.

Пусть OB = 4 см, DC = 25 см. Надо найти AB.

Выразим OD через OB: $$OD = \frac{DC \cdot OB}{AB}$$.

Так как OB + OD = BD, то $$OD = BD - OB \Rightarrow BD = OD + OB$$.

Из подобия треугольников $$\frac{AB}{DC} = \frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD}$$.

Если ОВ = 4 см и DC = 25 см, то $$\frac{AB}{25} = \frac{4}{OD}$$. Отсюда $$AB = \frac{100}{OD}$$.

Если бы было известно OD, то можно было бы найти AB. Информации недостаточно.

б) Дано: AB = a, DC = b, AO/OC и BO/OD нужно найти.

Из подобия треугольников AOB и COD следует, что $$\frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD} = \frac{AB}{DC} = \frac{a}{b}$$.

Дано: АВ = 9,6 дм = 96 см, DC = 24 см, АС = 15 см. Надо найти AO и OC.

$$\frac{AO}{OC} = \frac{AB}{DC} = \frac{96}{24} = 4$$. Значит, AO = 4 * OC.

Так как AC = AO + OC, то 15 = 4 * OC + OC = 5 * OC. Отсюда OC = 3 см, AO = 4 * 3 = 12 см.

Ответ: а) недостаточно информации; б) AO/OC = a/b, BO/OD = a/b; если АВ = 9,6 дм, DC = 24 см, АС = 15 см, то AO = 12 см, OC = 3 см.