358 На стороне CD параллелограмма ABCD отмечена т. Прямые АЕ И ВС пересекаются в точке Р. Найдит и FC, если DE = 8см, ЕС = 4 см, ВС=7 см, АЕ=10с и ЕС, если АВ = 8 см, AD = 5 см, CF=2см.

Для решения данной задачи необходимо воспользоваться теоремой о пропорциональных отрезках секущих и секущей, проведённых из одной точки к сторонам угла.

1) Рассмотрим случай, когда DE = 8 см, ЕС = 4 см, ВС = 7 см, АЕ = 10 см. Нужно найти EP и FC.

По теореме о пропорциональных отрезках, имеем:

$$\frac{EP}{AE} = \frac{EC}{DE}$$, отсюда $$EP = \frac{AE \cdot EC}{DE} = \frac{10 \cdot 4}{8} = 5 \text{ см}$$.

Тогда AP = AE + EP = 10 + 5 = 15 см.

Далее, рассмотрим треугольники AEP и CFP. Угол AEP = углу CFP как вертикальные, угол EAP = углу FCP как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AD и BC и секущей AC. Значит, треугольники AEP и CFP подобны по двум углам.

Тогда $$\frac{AP}{FC} = \frac{EC}{AE}$$. Подставим значения: $$\frac{15}{FC} = \frac{4}{10}$$, отсюда $$FC = \frac{15 \cdot 10}{4} = 37.5 \text{ см}$$.

2) Рассмотрим случай, когда AB = 8 см, AD = 5 см, CF = 2 см. Нужно найти EC.

Так как ABCD - параллелограмм, то CD = AB = 8 см. Пусть EC = x см, тогда DE = (8 - x) см.

Треугольники AEP и CFP подобны (доказано выше), значит, $$\frac{AE}{CF} = \frac{EP}{BC}$$.

Также $$\frac{EP}{AE} = \frac{EC}{DE}$$. Отсюда $$EP = \frac{AE \cdot EC}{DE} = \frac{AE \cdot x}{8-x}$$.

Пусть AE = y см, тогда $$\frac{y}{2} = \frac{\frac{yx}{8-x}}{5}$$.

Преобразуем: $$5y = \frac{2yx}{8-x}$$. Если y ≠ 0, то $$5 = \frac{2x}{8-x}$$.

Решим уравнение: $$5(8-x) = 2x \Rightarrow 40 - 5x = 2x \Rightarrow 7x = 40 \Rightarrow x = \frac{40}{7} \approx 5.71 \text{ см}$$.

Ответ: в первом случае EP = 5 см, FC = 37.5 см, во втором случае EC ≈ 5.71 см.