Диаметр дерева — это количество рёбер в максимальной цепи, то есть длина цепи, связывающей две наиболее удалённые вершины. Если диаметр бинарного дерева равен 6, каково минимальное количество его вершин?

Давайте разберемся, как определить минимальное количество вершин в бинарном дереве с заданным диаметром. Диаметр бинарного дерева - это длина самого длинного пути между двумя листьями в дереве. Этот путь может проходить или не проходить через корень. Минимальное количество вершин достигается, когда дерево максимально "сбалансировано" относительно диаметра. Диаметр равен 6, что означает, что самый длинный путь между двумя листьями состоит из 6 рёбер (или 7 вершин). Рассмотрим несколько случаев для понимания: 1. Если путь проходит через корень, то высота левого поддерева и правого поддерева в сумме дают диаметр. Чтобы минимизировать количество вершин, мы должны сделать так, чтобы высота каждого поддерева была минимальной. 2. Если диаметр равен 6, значит, мы можем разбить его на две части: 3 и 3. Это означает, что высота левого поддерева равна 3, и высота правого поддерева также равна 3. Для дерева высоты 3 минимальное количество вершин будет, когда дерево вырождается в цепь (т.е. каждая вершина имеет только одного потомка). 3. Минимальное число вершин в дереве высоты h = 3 равно h + 1 = 4. 4. Таким образом, у нас есть корень, левое поддерево с 4 вершинами и правое поддерево с 4 вершинами. Общее количество вершин будет: 1 (корень) + 3 (левое поддерево, исключая корень) + 3 (правое поддерево, исключая корень) = 7. 5. Другой вариант: Представим, что диаметр (путь из 6 ребер) является путем от листа в левом поддереве до листа в правом поддереве. Тогда, для минимизации числа вершин, мы можем расположить вершины в виде цепи. Если в левом поддереве k ребер до корня, а в правом поддереве (6 - k) ребер до корня, то количество вершин будет k + (6 - k) + 1 = 7. Другими словами, у нас есть путь длины 6, и чтобы минимизировать число вершин, мы добавляем только необходимые вершины для формирования этого пути. Это означает, что мы строим дерево, где каждая вершина имеет только одного ребенка (вырождается в линию). Рассмотрим дерево, в котором диаметр составляет путь, проходящий через корень. Тогда мы можем сказать, что самая длинная ветвь слева имеет длину, скажем, 3, а самая длинная ветвь справа имеет длину 3. Для самой длинной ветви слева, состоящей из 3 ребер, необходимо как минимум 3 вершины + корень = 4 вершины, и то же самое справедливо и для правой стороны. Таким образом, чтобы удовлетворить нашему требованию, мы должны иметь минимум 4 вершины на левой ветке, 4 вершины на правой ветке и корень, т.е. всего 4 + 4 - 1 = 7 вершин. Минимальное количество вершин = 7. Итак, минимальное количество вершин равно 7. **Ответ: 7**