Диаметр окружности равен 8 см. Около неё описана равнобедренная трапеция, боковая сторона которой 10 см. Вычисли основания и площадь трапеции. Меньшее основание трапеции равно ____ см, большее основание равно ____ см, площадь трапеции равна ____ $$см^2$$.

Дано: Диаметр окружности: $$d = 8$$ см, следовательно, радиус $$r = 4$$ см. Боковая сторона равнобедренной трапеции: $$c = 10$$ см. Необходимо найти: Основания трапеции: $$a$$ и $$b$$ (где $$a < b$$) Площадь трапеции: $$S$$ Решение: 1. Свойство описанной трапеции: Если в трапецию можно вписать окружность, то сумма её оснований равна сумме боковых сторон. Поскольку трапеция равнобедренная, то: $$a + b = 2c$$ $$a + b = 2 * 10 = 20$$ 2. Высота трапеции: Высота трапеции равна диаметру вписанной окружности, т.е., $$h = d = 8$$ см. 3. Рассмотрим прямоугольную трапецию, образованную высотой, боковой стороной и частью большего основания. Обозначим эту часть основания за $$x$$. Тогда $$x = \frac{b - a}{2}$$. 4. Теорема Пифагора: В прямоугольном треугольнике, образованном высотой, боковой стороной и частью большего основания, выполняется теорема Пифагора: $$h^2 + x^2 = c^2$$ $$8^2 + x^2 = 10^2$$ $$64 + x^2 = 100$$ $$x^2 = 36$$ $$x = 6$$ см 5. Выразим большее основание через меньшее и $$x$$: $$x = \frac{b - a}{2}$$ $$6 = \frac{b - a}{2}$$ $$12 = b - a$$ 6. Решим систему уравнений: $$\begin{cases} a + b = 20 \ b - a = 12 \end{cases}$$ Сложим уравнения: $$2b = 32$$ $$b = 16$$ см Тогда: $$a = 20 - b = 20 - 16 = 4$$ см 7. Площадь трапеции: $$S = \frac{a + b}{2} * h$$ $$S = \frac{4 + 16}{2} * 8$$ $$S = \frac{20}{2} * 8$$ $$S = 10 * 8 = 80$$ $$см^2$$ Ответ: Меньшее основание трапеции равно 4 см. Большее основание трапеции равно 16 см. Площадь трапеции равна 80 $$см^2$$.