Диаметр шара равен 6. Через конец диаметра проведена плоскость под углом 45° к нему. Найдите площадь сечения шара этой плоскостью.

Для решения этой задачи нам потребуется знание геометрии шара и его сечений. 1. Найдем радиус шара: * Диаметр шара равен 6, следовательно, радиус *R* равен половине диаметра: $$R = \frac{6}{2} = 3$$ 2. Определим расстояние от центра шара до плоскости сечения: * Так как плоскость проведена через конец диаметра под углом 45° к нему, расстояние *d* от центра шара до плоскости равно радиусу, умноженному на косинус угла 45°: $$d = R \cdot \cos(45^\circ) = 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$$ 3. Найдем радиус сечения: * Радиус сечения *r* можно найти, используя теорему Пифагора, так как радиус шара *R*, расстояние от центра шара до плоскости *d*, и радиус сечения *r* образуют прямоугольный треугольник: $$r^2 = R^2 - d^2 = 3^2 - \left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 9 - \frac{18}{4} = 9 - \frac{9}{2} = \frac{18-9}{2} = \frac{9}{2}$$ $$r = \sqrt{\frac{9}{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$$ 4. Вычислим площадь сечения: * Сечение шара плоскостью является кругом. Площадь круга *S* вычисляется по формуле: $$S = \pi r^2 = \pi \cdot \left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \pi \cdot \frac{9 \cdot 2}{4} = \pi \cdot \frac{18}{4} = \frac{9\pi}{2}$$ * Таким образом, площадь сечения равна $$\frac{9\pi}{2}$$. Ответ: $$\frac{9\pi}{2}$$