Длина дуги кривой $$y = x^3$$ с концами в точках O(0, 0) и A(3, 27) вычисляется с помощью интеграла

Чтобы найти длину дуги кривой, заданной функцией $$y = f(x)$$ на отрезке $$[a, b]$$, используется формула: $$L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + (f'(x))^2} dx$$ В нашем случае $$y = x^3$$, следовательно, $$y' = 3x^2$$. Точки $$O(0, 0)$$ и $$A(3, 27)$$ соответствуют значениям $$x$$ от $$0$$ до $$3$$. Подставляем в формулу: $$L = \int_{0}^{3} \sqrt{1 + (3x^2)^2} dx = \int_{0}^{3} \sqrt{1 + 9x^4} dx$$ Таким образом, правильный ответ: $$\int_{0}^{3} \sqrt{1 + 9x^4} dx$$