2. Для чисел z₁ = 2+2 i, z₂ = 4 - i найдите действительные а и b: z₁/z₂ = a z₁ + b z₂.

Дано:

z₁ = 2 + 2i

z₂ = 4 - i

z₁/z₂ = a * z₁ + b * z₂

Найти: a, b - ?

Решение:

z₁/z₂ = (2 + 2i) / (4 - i) = ((2 + 2i) * (4 + i)) / ((4 - i) * (4 + i)) = (2 * 4 + 2 * i + 2i * 4 + 2i * i) / (4² + 1²) = (8 + 2i + 8i + 2i²) / (16 + 1) = (8 + 10i + 2 * (-1)) / 17 = (8 + 10i - 2) / 17 = (6 + 10i) / 17 = 6/17 + (10/17)i

a * z₁ + b * z₂ = a * (2 + 2i) + b * (4 - i) = 2a + 2ai + 4b - bi = (2a + 4b) + (2a - b)i

Приравняем действительные и мнимые части:

2a + 4b = 6/17

2a - b = 10/17

Выразим b из второго уравнения: b = 2a - 10/17

Подставим в первое уравнение: 2a + 4 * (2a - 10/17) = 6/17

2a + 8a - 40/17 = 6/17

10a = 46/17

a = 46/17 / 10 = 46 / (17 * 10) = 23 / (17 * 5) = 23/85

b = 2a - 10/17 = 2 * (23/85) - 10/17 = 46/85 - 50/85 = -4/85

Ответ: a = 23/85; b = -4/85