5.322 Для эстафеты, состоящей из четырёх э обладателей золотого значка ГТО. а) Сколькими способами можно составить команду из четырёх лыжников, в классе 12 учащихся имеют золотой значок ГТО? б) Сколькими способами члены этой команды могут распределить этапы лыжной эстафеты?

а) Задача на комбинаторику. Нужно найти число сочетаний из 12 по 4. Число сочетаний из n по k вычисляется по формуле: $$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$.

В нашем случае: $$C_{12}^4 = \frac{12!}{4!(12-4)!} = \frac{12!}{4!8!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 495$$.

б) Задача на перестановки. Нужно найти число перестановок из 4 элементов. Число перестановок из n элементов вычисляется по формуле: $$P_n = n!$$.

В нашем случае: $$P_4 = 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$$.

Ответ: а) 495; б) 24