5.322 Для эстафеты, состоящей из четырёх этапов, надо отобрать участников из обладателей золотого значка ГТО. а) Сколькими способами можно составить команду из четырёх лыжников, в классе 12 учащихся имеют золотой значок ГТО? б) Сколькими способами члены этой команды могут распределить этапы эстафеты?

а) Необходимо вычислить количество сочетаний из 12 по 4. Используем формулу для сочетаний без повторений: $$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$, где n = 12 (общее количество лыжников), k = 4 (количество лыжников в команде).

$$C_{12}^4 = \frac{12!}{4!(12-4)!} = \frac{12!}{4!8!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 495$$

б) Необходимо вычислить количество перестановок из 4 элементов. Используем формулу для перестановок: $$P_n = n!$$, где n = 4 (количество этапов эстафеты).

$$P_4 = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$$

Ответ: а) 495, б) 24