Для операций · и + работает распределительный закон о том, что \( (a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c \). Но в обратную сторону он не работает (не для всех чисел верно, что \( (a \cdot b) + c = (a + c) \cdot (b + c) \)). (а) Приведите пример ненулевых чисел для которых равенство \( (a \cdot b) + c = (a + c) \cdot (b + c) \) верно. (b) Докажите с помощью кругов Эйлера, что распределительный закон работает с операциями \( \cup \) и \( \cap \) в обе стороны (здесь имеются ввиду операции над множествами).

Краткое пояснение:

Решение:

(а) Пример ненулевых чисел:

• Заданное равенство: \( (a \cdot b) + c = (a + c) \cdot (b + c) \)
• Раскроем скобки в правой части: \( (a + c) \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c + c \cdot b + c \cdot c = ab + ac + bc + c^2 \)
• Теперь приравняем левую и правую части: \( ab + c = ab + ac + bc + c^2 \)
• Вычтем \( ab \) из обеих частей: \( c = ac + bc + c^2 \)
• Разделим на \( c \) (по условию \( c \neq 0 \)): \( 1 = a + b + c \)
• Нам нужно найти такие ненулевые числа \( a, b, c \), для которых \( a + b + c = 1 \).
• Пример: Пусть \( a = 0.5 \), \( b = 0.3 \), \( c = 0.2 \). Все числа ненулевые.
• Проверка:
  Левая часть: \( (0.5 \cdot 0.3) + 0.2 = 0.15 + 0.2 = 0.35 \)
  Правая часть: \( (0.5 + 0.2) \cdot (0.3 + 0.2) = 0.7 \cdot 0.5 = 0.35 \)
  Равенство выполняется.

(б) Доказательство дистрибутивности с помощью кругов Эйлера (диаграмм Венна):

Нам нужно доказать два случая:

1. 1. Распределительность объединения относительно пересечения: \( A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) \)
2. 2. Распределительность пересечения относительно объединения: \( A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) \)

1. Доказательство \( A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) \):

• Левая часть: \( A \cup (B \cap C) \)
  Это все элементы, которые принадлежат множеству A, ИЛИ принадлежат пересечению B и C. На диаграмме Венна это будет область A плюс область, где B и C пересекаются.
• Правая часть: \( (A \cup B) \cap (A \cup C) \)
  Это элементы, которые принадлежат объединению A и B, И в то же время принадлежат объединению A и C.
• Рассмотрим области на диаграмме Венна:
  - Элементы, которые только в A: они есть в \( A \cup B \) и в \( A \cup C \), следовательно, они в пересечении.
  - Элементы, которые в \( A \cap B \) (и не в C): они есть в \( A \cup B \) и в \( A \cup C \), следовательно, они в пересечении.
  - Элементы, которые в \( A \cap C \) (и не в B): они есть в \( A \cup B \) и в \( A \cup C \), следовательно, они в пересечении.
  - Элементы, которые в \( B \cap C \) (и не в A): они есть в \( A \cup B \) и в \( A \cup C \), следовательно, они в пересечении.
  - Элементы, которые в \( A \cap B \cap C \): они есть в \( A \cup B \) и в \( A \cup C \), следовательно, они в пересечении.
  - Элементы, которые только в B или только в C (и не в A): они есть в \( A \cup B \) (или \( A \cup C \)), но не в обоих одновременно, если они не в A. Таким образом, эти элементы не будут в пересечении.
• Визуальное сравнение: При построении диаграммы Венна видно, что области, закрашенные для \( A \cup (B \cap C) \), точно совпадают с областями, закрашенными для \( (A \cup B) \cap (A \cup C) \).

2. Доказательство \( A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) \):

• Левая часть: \( A \cap (B \cup C) \)
  Это все элементы, которые принадлежат множеству A, И в то же время принадлежат объединению B и C. Другими словами, это элементы, которые одновременно в A и (в B или в C).
• Правая часть: \( (A \cap B) \cup (A \cap C) \)
  Это элементы, которые принадлежат пересечению A и B, ИЛИ принадлежат пересечению A и C.
• Рассмотрим области на диаграмме Венна:
  - Если элемент находится в \( A \cap B \) (и не в C), то он находится в \( A \cap (B \cup C) \) (так как он в A и в B). Он также находится в \( (A \cap B) \cup (A \cap C) \).
  - Если элемент находится в \( A \cap C \) (и не в B), то он находится в \( A \cap (B \cup C) \) (так как он в A и в C). Он также находится в \( (A \cap B) \cup (A \cap C) \).
  - Если элемент находится в \( A \cap B \cap C \), то он находится в \( A \cap (B \cup C) \) (так как он в A и в B, и в C). Он также находится в \( (A \cap B) \cup (A \cap C) \).
  - Если элемент находится только в A, но не в B и не в C, то он не попадает ни в \( A \cap B \), ни в \( A \cap C \), и, следовательно, не попадает в правую часть. Он также не попадает в левую часть \( A \cap (B \cup C) \), так как не принадлежит \( B \cup C \).
  - Элементы, которые находятся только в B или только в C (и не в A), не принадлежат A, и поэтому не могут быть в пересечениях \( A \cap B \) или \( A \cap C \). Следовательно, они не будут в правой части.
• Визуальное сравнение: Диаграммы Венна для \( A \cap (B \cup C) \) и \( (A \cap B) \cup (A \cap C) \) совпадают.

Вывод: Изображения на диаграммах Венна подтверждают, что распределительный закон действительно работает в обе стороны для операций объединения и пересечения множеств.