Для профиля. 1. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 4 м. Боковая ее грань наклонена к плоскости основания под углом 30°. Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Находим апофему (высоту боковой грани).
   В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат. Высота пирамиды (H = 4 м) и радиус вписанной в основание окружности (r) образуют прямоугольный треугольник с апофемой (h_a) как гипотенузой. Радиус вписанной окружности равен половине стороны квадрата. Угол наклона боковой грани к основанию равен 30°. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой пирамиды, радиусом вписанной окружности и апофемой, угол между высотой и апофемой равен углу наклона грани к основанию, то есть 30°.
   Мы знаем, что \( an(30^ ext{o}) = rac{r}{H} \) и \( rac{1}{ an(30^ ext{o})} = rac{H}{r} \).
   \( r = H imes an(30^ ext{o}) = 4 imes rac{1}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} \) м.
   Теперь найдем апофему по теореме Пифагора: \( h_a^2 = H^2 + r^2 \).
   \( h_a^2 = 4^2 + (\frac{4}{\sqrt{3}})^2 = 16 + \frac{16}{3} = \frac{48+16}{3} = \frac{64}{3} \).
   \( h_a = \sqrt{\frac{64}{3}} = \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{3} \) м.
2. Шаг 2: Находим периметр основания.
   Радиус вписанной окружности \( r = \frac{a}{2} \), где \( a \) — сторона квадрата.
   \( \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{a}{2} \) => \( a = \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{3} \) м.
   Периметр основания \( P = 4a = 4 \times \frac{8\sqrt{3}}{3} = \frac{32\sqrt{3}}{3} \) м.
3. Шаг 3: Вычисляем площадь боковой поверхности.
   Площадь боковой поверхности пирамиды \( S_{бок} = \frac{1}{2} P imes h_a \).
   \( S_{бок} = \frac{1}{2} imes \frac{32\sqrt{3}}{3} imes \frac{8\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{2} imes \frac{32 imes 8 imes 3}{3 imes 3} = \frac{1}{2} imes \frac{256 imes 3}{9} = \frac{1}{2} imes \frac{256}{3} = \frac{128}{3} \) м².

Ответ: Площадь боковой поверхности пирамиды равна \( \frac{128}{3} \) м².