679. (Для работы в парах.) Докажите, что значение выражения: а) 16⁵+ 16⁴ кратно 17; б) 38⁹ – 38⁸ кратно 37; в) 36⁵ - 6⁹ кратно 30; г) 5¹⁸ – 25⁸ кратно 120. 1) Распределите, кто выполняет задания а), в), а кто – задания б), г), и выполните их. 2) Проверьте друг у друга правильность выполнения заданий. 3) Предложите друг другу составить задание, аналогичное заданию б).

a) Докажем, что 16⁵+ 16⁴ кратно 17.

$$16^5 + 16^4 = 16^4(16 + 1) = 16^4 \cdot 17$$

Так как выражение содержит множитель 17, то оно кратно 17.

Ответ: Доказано

б) Докажем, что 38⁹ – 38⁸ кратно 37.

$$38^9 - 38^8 = 38^8(38 - 1) = 38^8 \cdot 37$$

Так как выражение содержит множитель 37, то оно кратно 37.

Ответ: Доказано

в) Докажем, что 36⁵ - 6⁹ кратно 30.

$$36^5 - 6^9 = (6^2)^5 - 6^9 = 6^{10} - 6^9 = 6^9(6 - 1) = 6^9 \cdot 5 = 6^8 \cdot 6 \cdot 5 = 6^8 \cdot 30$$

Так как выражение содержит множитель 30, то оно кратно 30.

Ответ: Доказано

г) Докажем, что 5¹⁸ – 25⁸ кратно 120.

$$5^{18} - 25^8 = 5^{18} - (5^2)^8 = 5^{18} - 5^{16} = 5^{16}(5^2 - 1) = 5^{16} \cdot (25 - 1) = 5^{16} \cdot 24 = 5^{14} \cdot 5^2 \cdot 24 = 5^{14} \cdot 25 \cdot 24 = 5^{14} \cdot 25 \cdot 2 \cdot 12 = 5^{14} \cdot 50 \cdot 12 = 5^{14} \cdot 6 \cdot 5 \cdot 10 \cdot 2 = 5^{14} \cdot 10 \cdot 12 \cdot 5 = 5^{14} \cdot 120 \cdot 5$$

Так как выражение содержит множитель 120, то оно кратно 120.

Ответ: Доказано