Для сторон четырёхугольника ABCD, описанного около окружности, выполнены соотношения: $$\frac{AB}{BC} = 0,75$$, $$\frac{AD}{CD} = 0,4$$. Найдите большую из сторон этого четырёхугольника, если его периметр равен 84.

Пусть сторона $$BC = x$$, тогда $$AB = 0,75x$$. Пусть сторона $$CD = y$$, тогда $$AD = 0,4y$$.

Периметр четырёхугольника равен сумме длин всех его сторон: $$P = AB + BC + CD + AD$$. Подставим известные значения:

$$0,75x + x + y + 0,4y = 84$$ $$1,75x + 1,4y = 84$$

Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от десятичных дробей:

$$7x + 5,6y = 336$$

Так как в описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны, то $$AB + CD = BC + AD$$. Подставим выражения для сторон:

$$0,75x + y = x + 0,4y$$

Выразим $$y$$ через $$x$$:

$$y - 0,4y = x - 0,75x$$ $$0,6y = 0,25x$$ $$y = \frac{0,25}{0,6}x = \frac{25}{60}x = \frac{5}{12}x$$

Подставим выражение для $$y$$ в первое уравнение:

$$7x + 5,6 \cdot \frac{5}{12}x = 336$$ $$7x + \frac{28}{10} \cdot \frac{5}{12}x = 336$$ $$7x + \frac{140}{120}x = 336$$ $$7x + \frac{7}{6}x = 336$$ $$42x + 7x = 336 \cdot 6$$ $$49x = 336 \cdot 6$$ $$x = \frac{336 \cdot 6}{49} = \frac{48 \cdot 6}{7} = 48 \cdot \frac{6}{7} = \frac{288}{7}$$ $$x = \frac{288}{7}$$

Тогда:

$$y = \frac{5}{12}x = \frac{5}{12} \cdot \frac{288}{7} = \frac{5 \cdot 24}{7} = \frac{120}{7}$$

Вычислим стороны:

$$BC = x = \frac{288}{7} \approx 41.14$$ $$AB = 0,75x = \frac{3}{4} \cdot \frac{288}{7} = \frac{3 \cdot 72}{7} = \frac{216}{7} \approx 30.86$$ $$CD = y = \frac{120}{7} \approx 17.14$$ $$AD = 0,4y = \frac{2}{5} \cdot \frac{120}{7} = \frac{2 \cdot 24}{7} = \frac{48}{7} \approx 6.86$$

Сравним стороны, чтобы найти наибольшую:

$$BC \approx 41.14, AB \approx 30.86, CD \approx 17.14, AD \approx 6.86$$.

Наибольшая сторона - $$BC = \frac{288}{7}$$

Ответ: $$\frac{288}{7}$$