Для сторон четырёхугольника MNCD, описанного около окружности, выполнены соотношения: MN : NC = 2 : 5, MD: CD = 4 : 7. Периметр четырёхугольника MNCD равен 54. Найдите меньшую из сторон этого четырёхугольника.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Пусть стороны четырёхугольника MNCD равны $$MN = 2x$$, $$NC = 5x$$, $$MD = 4y$$, $$CD = 7y$$.
2. Так как четырёхугольник описан около окружности, сумма противоположных сторон равна: $$MN + CD = NC + MD$$.
3. Подставляем выражения для сторон: $$2x + 7y = 5x + 4y$$.
4. Упрощаем уравнение: $$7y - 4y = 5x - 2x$$, что дает $$3y = 3x$$, то есть $$y = x$$.
5. Теперь стороны можно выразить через одну переменную: $$MN = 2x$$, $$NC = 5x$$, $$MD = 4x$$, $$CD = 7x$$.
6. Периметр четырёхугольника равен сумме всех сторон: $$P = MN + NC + MD + CD = 2x + 5x + 4x + 7x = 18x$$.
7. Известно, что периметр равен 54: $$18x = 54$$.
8. Находим значение $$x$$: $$x = 54 / 18 = 3$$.
9. Вычисляем длины сторон: $$MN = 2 \times 3 = 6$$, $$NC = 5 \times 3 = 15$$, $$MD = 4 \times 3 = 12$$, $$CD = 7 \times 3 = 21$$.
10. Наименьшая сторона — $$MN$$, её длина равна 6.

Ответ: 6