Решение:

Для определения возможности существования треугольника с заданными параметрами, воспользуемся теоремой синусов и проверим, выполняются ли необходимые условия.

B) ∠A = 80°, a = 16, b = 10

Применим теорему синусов: $$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$$

$$\frac{16}{\sin 80°} = \frac{10}{\sin B}$$

$$\sin B = \frac{10 \cdot \sin 80°}{16} = \frac{10 \cdot 0.9848}{16} = \frac{9.848}{16} \approx 0.6155$$

Так как синус угла B находится в пределах от -1 до 1, то такой угол B существует.

Найдем угол B: $$B = \arcsin(0.6155) \approx 37.98°$$

Теперь найдем угол C: $$C = 180° - A - B = 180° - 80° - 37.98° = 62.02°$$

Так как все углы положительны и их сумма равна 180°, треугольник с такими параметрами существует.

Д) ∠A = 60°, a = 10, b = 7

Применим теорему синусов: $$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$$

$$\frac{10}{\sin 60°} = \frac{7}{\sin B}$$

$$\sin B = \frac{7 \cdot \sin 60°}{10} = \frac{7 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{10} = \frac{7 \cdot 0.866}{10} = \frac{6.062}{10} \approx 0.6062$$

Так как синус угла B находится в пределах от -1 до 1, то такой угол B существует.

Найдем угол B: $$B = \arcsin(0.6062) \approx 37.33°$$

Теперь найдем угол C: $$C = 180° - A - B = 180° - 60° - 37.33° = 82.67°$$

Так как все углы положительны и их сумма равна 180°, треугольник с такими параметрами существует.

Ж) b = 32, c = 45, ∠A = 87°

Здесь известны две стороны и угол между ними, значит, треугольник с такими параметрами существует, поскольку это задает его однозначно.