Решение

1) Рассмотрим треугольник ABC. Сумма углов в треугольнике равна 180°. Следовательно, ∠A = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 65° - 25° = 90°. Треугольник ABC прямоугольный, ∠A = 90°.

2) Рассмотрим треугольник ABM. ∠B = 65°, ∠AMB = 90°, следовательно, ∠ABM = 180° - ∠AMB - ∠B = 180° - 90° - 65° = 25°.

3) Рассмотрим треугольники ABE и CBK. BE = CK (по условию). AB = BC. ∠ABE = ∠BCK (∠B = 65°, ∠C = 25°, ∠ABE = ∠ABM + ∠MBE = 25° + ∠MBE, ∠BCK = ∠C = 25°). Следовательно, треугольники ABE и CBK равны по двум сторонам и углу между ними.

4) Из равенства треугольников ABE и CBK следует, что AE = BK. AE = AB - BE, BK = BC - CK. Следовательно, AB - BE = BC - CK. Так как BE = CK, то AB = BC. Треугольник ABC равнобедренный и прямоугольный.

5) В равнобедренном прямоугольном треугольнике ABC медиана, проведенная из прямого угла, является также высотой и биссектрисой. AM = MC. Что и требовалось доказать.