Доказать, что EF проходит через O.

Чтобы доказать, что отрезок EF проходит через точку O, нужно доказать, что точка O лежит на отрезке EF.

Дано: ABCD — четырехугольник, в котором AB=CD, BO=DO, AO=CO.

BCAD, ΔABE и ΔCDF — равносторонние.

Рассмотрим треугольники ABO и CDO:

• AB = CD (дано)
• BO = DO (дано)
• AO = CO (дано)

Следовательно, треугольники ABO и CDO равны по трем сторонам (AB = CD, BO = DO, AO = CO).

Значит, ∠BAO = ∠DCO (как соответственные углы).

Т.к. треугольники ABE и CDF равносторонние, то ∠EAB = ∠FCD = 60°.

∠EAO = ∠EAB + ∠BAO = 60° + ∠BAO.

∠FCO = ∠FCD + ∠DCO = 60° + ∠DCO.

Поскольку ∠BAO = ∠DCO, то ∠EAO = ∠FCO.

Треугольники EAO и FCO:

• AE = CF (т.к. ΔABE = ΔCDF)
• AO = CO (дано)
• ∠EAO = ∠FCO (доказано выше)

Следовательно, треугольники EAO и FCO равны по двум сторонам и углу между ними (AE = CF, AO = CO, ∠EAO = ∠FCO), а значит EO = FO.

Т.к. EO = FO и AO = CO, то O — середина EF и AC. Значит EF и AC пересекаются в точке O.

Ответ: EF проходит через O.