15. Доказать, что функция у = f(x) является периодической с периодом Т, если: 1) y = sin 2x, Τ = π; 2) y = cos T = 4π; 3) y = tg 2x, T= 4) y = sin, T = π. 2

Для доказательства периодичности функции с указанным периодом T, необходимо показать, что f(x + T) = f(x) для каждой из предложенных функций:

1. y = sin(2x), T = π
   sin(2(x + π)) = sin(2x + 2π) = sin(2x). Функция периодическая.
2. y = cos(x/2), T = 4π
   cos((x + 4π)/2) = cos(x/2 + 2π) = cos(x/2). Функция периодическая.
3. y = tg(2x), T = π/2
   tg(2(x + π/2)) = tg(2x + π) = tg(2x). Функция периодическая.
4. y = sin(4x/5), T = 5π/2
   sin(4(x + 5π/2)/5) = sin(4x/5 + 2π) = sin(4x/5). Функция периодическая.

Ответ: Все предложенные функции являются периодическими с указанными периодами.