Доказательство:
Приведём правую часть к более удобному виду, разделив числитель.
\[ -\frac{1+\cos x}{\sin x} = -\left(\frac{1}{\sin x} + \frac{\cos x}{\sin x}\right) = -(\csc x + \cot x) \]
Теперь преобразуем левую часть.
\[ \frac{1+\sin x+\cos x}{1-(\sin x+\cos x)} \]
Домножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение \( 1+(\sin x+\cos x) \):
\[ \frac{(1+\sin x+\cos x)(1+\sin x+\cos x)}{(1-(\sin x+\cos x))(1+(\sin x+\cos x))} = \frac{(1+(\sin x+\cos x))^2}{1^2 - (\sin x+\cos x)^2} \]
\[ = \frac{1 + 2(\sin x+\cos x) + (\sin x+\cos x)^2}{1 - (\sin^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos^2 x)} \]
\[ = \frac{1 + 2\sin x + 2\cos x + (1 + \sin 2x)}{1 - (1 + \sin 2x)} \]
\[ = \frac{2 + 2\sin x + 2\cos x + \sin 2x}{1 - 1 - \sin 2x} \]
\[ = \frac{2 + 2\sin x + 2\cos x + 2 \sin x \cos x}{-\sin 2x} \]
\[ = \frac{2(1 + \sin x + \cos x + \sin x \cos x)}{-2 \sin x \cos x} \]
\[ = -\frac{1 + \sin x + \cos x + \sin x \cos x}{\sin x \cos x} \]
\[ = -\left(\frac{1}{\sin x \cos x} + \frac{\sin x}{\sin x \cos x} + \frac{\cos x}{\sin x \cos x} + \frac{\sin x \cos x}{\sin x \cos x}\right) \]
\[ = -\left(\frac{1}{\sin x \cos x} + \frac{1}{\cos x} + \frac{1}{\sin x} + 1\right) \]
Это не совпадает с правой частью. Попробуем другой подход.
Разделим числитель и знаменатель левой части на \( \cos x \) (при условии \( \cos x \neq 0 \)).
\[ \frac{\frac{1}{\cos x} + \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\cos x}}{\frac{1}{\cos x} - \frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\cos x}{\cos x}} = \frac{\sec x + \tan x + 1}{\sec x - \tan x - 1} \]
Теперь преобразуем правую часть.
\[ -\frac{1+\cos x}{\sin x} \]
Используя формулы половинного угла: \( \sin x = 2 \sin(x/2) \cos(x/2) \) и \( 1 + \cos x = 2 \cos^2(x/2) \).
\[ -\frac{2 \cos^2(x/2)}{2 \sin(x/2) \cos(x/2)} = -\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)} = -\cot(x/2) \]
Теперь попробуем преобразовать левую часть в \( -\cot(x/2) \).
\[ \frac{1+\sin x+\cos x}{1-(\sin x+\cos x)} \]
Используем формулы: \( 1 + \cos x = 2\cos^2(x/2) \), \( \sin x = 2\sin(x/2)\cos(x/2) \).
\[ = \frac{2\cos^2(x/2) + 2\sin(x/2)\cos(x/2)}{1 - (2\sin(x/2)\cos(x/2) - 2\sin^2(x/2))} \]
\[ = \frac{2\cos(x/2)(\cos(x/2) + \sin(x/2))}{1 - 2\sin(x/2)\cos(x/2) + 2\sin^2(x/2)} \]
Знаменатель сложно преобразовать.
Вернёмся к правой части:
\[ -\frac{1+\cos x}{\sin x} = -\frac{1}{\sin x} - \frac{\cos x}{\sin x} \]
Преобразуем левую часть:
\[ \frac{1+\sin x+\cos x}{1-(\sin x+\cos x)} \]
Умножим числитель и знаменатель на \( 1+\sin x-\cos x \):
\[ \frac{(1+\sin x+\cos x)(1+\sin x-\cos x)}{(1-(\sin x+\cos x))(1+\sin x-\cos x)} = \frac{((1+\sin x)+\cos x)((1+\sin x)-\cos x)}{(1-(\sin x+\cos x))(1+\sin x-\cos x)} \]
\[ = \frac{(1+\sin x)^2 - \cos^2 x}{1 + \sin x - \cos x - \sin x - \cos x + \sin x \cos x - \cos x + \cos^2 x} \]
\[ = \frac{1 + 2\sin x + \sin^2 x - \cos^2 x}{1 - 2\cos x + \sin x \cos x + \cos^2 x} \]
Попробуем умножить на \( 1 - \sin x + \cos x \).
\[ \frac{(1+\sin x+\cos x)(1-\sin x+\cos x)}{(1-(\sin x+\cos x))(1-\sin x+\cos x)} = \frac{((1+\cos x)+\sin x)((1+\cos x)-\sin x)}{(1-\sin x)^2 - (\cos x)^2} \]
\[ = \frac{(1+\cos x)^2 - \sin^2 x}{1 - 2\sin x + \sin^2 x - \cos^2 x} \]
\[ = \frac{1 + 2\cos x + \cos^2 x - \sin^2 x}{1 - 2\sin x + \sin^2 x - (1 - \sin^2 x)} \]
\[ = \frac{1 + 2\cos x + \cos^2 x - (1-\sin^2 x)}{1 - 2\sin x + \sin^2 x - 1 + \sin^2 x} \]
\[ = \frac{2\cos x + \cos^2 x + \sin^2 x}{ - 2\sin x + 2\sin^2 x} = \frac{2\cos x + 1}{2\sin^2 x - 2\sin x} \]
Есть подозрение, что в задании ошибка.
Если предположить, что правая часть верна:
\[ -\frac{1+\cos x}{\sin x} = -\frac{2\cos^2(x/2)}{2\sin(x/2)\cos(x/2)} = -\cot(x/2) \]
Попробуем преобразовать левую часть к \( -\cot(x/2) \):
\[ \frac{1+\sin x+\cos x}{1-(\sin x+\cos x)} = \frac{2\cos^2(x/2) + 2\sin(x/2)\cos(x/2)}{1 - (2\sin(x/2)\cos(x/2) - 2\sin^2(x/2))} = \frac{2\cos(x/2)(\cos(x/2) + \sin(x/2))}{1 - 2\sin(x/2)\cos(x/2) + 2\sin^2(x/2)} \]
Возможная опечатка в условии.
Ответ: Доказательство не удалось из-за вероятной ошибки в условии.
Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
