Доказать: \( (\sin x + \cos x)^4 + (\sin x - \cos x)^4 = 4 - 2 \sin^2 2x \)

Question

Вопрос:

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Раскроем скобки, используя формулу \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \) и \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \), а также \( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \).

\[ (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos^2 x = 1 + \sin 2x \]

\[ (\sin x - \cos x)^2 = \sin^2 x - 2 \sin x \cos x + \cos^2 x = 1 - \sin 2x \]

Теперь возведём полученные результаты в квадрат:

\[ (\sin x + \cos x)^4 = (1 + \sin 2x)^2 = 1 + 2 \sin 2x + \sin^2 2x \]

\[ (\sin x - \cos x)^4 = (1 - \sin 2x)^2 = 1 - 2 \sin 2x + \sin^2 2x \]

Сложим полученные выражения:

\[ (1 + 2 \sin 2x + \sin^2 2x) + (1 - 2 \sin 2x + \sin^2 2x) = 1 + 2 \sin 2x + \sin^2 2x + 1 - 2 \sin 2x + \sin^2 2x \]

\[ = 2 + 2 \sin^2 2x \]

Видим, что полученное выражение отличается от правой части. Проверим условие еще раз.

Возможно, в условии была ошибка. Если бы стояла такая задача:

Доказать: \( (\sin x + \cos x)^4 - (\sin x - \cos x)^4 = 2 \sin 2x \)

\[ (1 + 2 \sin 2x + \sin^2 2x) - (1 - 2 \sin 2x + \sin^2 2x) = 1 + 2 \sin 2x + \sin^2 2x - 1 + 2 \sin 2x - \sin^2 2x = 4 \sin 2x \]

Это тоже не соответствует. Попробуем раскрыть четвертые степени через бином Ньютона.

\[ (\sin x + \cos x)^4 = \sin^4 x + 4 \sin^3 x \cos x + 6 \sin^2 x \cos^2 x + 4 \sin x \cos^3 x + \cos^4 x \]

\[ (\sin x - \cos x)^4 = \sin^4 x - 4 \sin^3 x \cos x + 6 \sin^2 x \cos^2 x - 4 \sin x \cos^3 x + \cos^4 x \]

Сложим эти два выражения:

\[ 2\sin^4 x + 12 \sin^2 x \cos^2 x + 2\cos^4 x \]

\[ = 2(\sin^4 x + \cos^4 x) + 6(2 \sin x \cos x)^2 \]

\[ = 2(\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 4\sin^2 x \cos^2 x + 6 \sin^2 2x \]

\[ = 2(1)^2 - (2 \sin x \cos x)^2 + 6 \sin^2 2x \]

\[ = 2 - \sin^2 2x + 6 \sin^2 2x \]

\[ = 2 + 5 \sin^2 2x \]

Это также не совпадает с правой частью.

Проверим последнее преобразование:

\[ (\sin x + \cos x)^4 + (\sin x - \cos x)^4 \]

\[ = ((\sin x + \cos x)^2)^2 + ((\sin x - \cos x)^2)^2 \]

\[ = (1 + \sin 2x)^2 + (1 - \sin 2x)^2 \]

\[ = (1 + 2 \sin 2x + \sin^2 2x) + (1 - 2 \sin 2x + \sin^2 2x) \]

\[ = 2 + 2 \sin^2 2x \]

Есть подозрение, что в задании ошибка. Правая часть должна быть \( 2 + 2 \sin^2 2x \).

Если принять, что правая часть верна \( 4 - 2 \sin^2 2x \), то:

\[ 2 + 2 \sin^2 2x = 4 - 2 \sin^2 2x \]

\[ 4 \sin^2 2x = 2 \]

\[ \sin^2 2x = \frac{1}{2} \]

Это верно только для определённых значений \( x \), а не тождественно.

Предполагая, что в задании опечатка и правая часть должна быть \( 2 + 2 \sin^2 2x \), доказательство завершено.

Ответ: Доказано (при условии, что правая часть равна \( 2 + 2 \sin^2 2x \)).