Доказать: ОE = OF

Дано: ABCD - параллелограмм, E и F - середины сторон BC и AD соответственно, O - точка пересечения диагоналей AC и BD.

Доказать: OE = OF

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольник BOC. Так как O - точка пересечения диагоналей параллелограмма, то BO = OD и AO = OC (свойство диагоналей параллелограмма).

2. Так как E - середина BC, то OE - медиана треугольника BOC.

3. Аналогично, в треугольнике AOD, OF - медиана, так как F - середина AD.

4. Так как ABCD - параллелограмм, то BC = AD (свойство сторон параллелограмма). Поскольку E и F - середины сторон BC и AD соответственно, то BE = \(\frac{1}{2}\)BC и AF = \(\frac{1}{2}\)AD. Следовательно, BE = AF.

5. Рассмотрим треугольники BOE и DOF.

Следовательно, треугольники BOE и DOF равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

6. Из равенства треугольников следует, что OE = OF (как соответствующие стороны равных треугольников).

Что и требовалось доказать.