Доказать свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30°. Сформулировать обратное утверждение.

Решение:

Свойство: Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

Доказательство:

1. Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где \( \angle C = 90^{\circ} \) и \( \angle A = 30^{\circ} \). Тогда \( \angle B = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \).
2. Проведём медиану CM к гипотенузе AB. В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы: \( CM = AM = MB = \frac{1}{2}AB \).
3. Рассмотрим треугольник AMC. Так как \( CM = AM \), то треугольник AMC — равнобедренный.
4. Углы при основании равнобедренного треугольника равны: \( \angle ACM = \angle A = 30^{\circ} \).
5. Теперь рассмотрим угол BCM. \( \angle BCM = \angle ACB - \angle ACM = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \).
6. В равнобедренном треугольнике AMC углы при основании равны \( 30^{\circ} \), значит, угол при вершине \( \angle AMC = 180^{\circ} - (30^{\circ} + 30^{\circ}) = 120^{\circ} \).
7. Угол \( \angle BCM = 60^{\circ} \). Так как \( CM = MB \), то треугольник CMB — равнобедренный. Угол \( \angle B = 60^{\circ} \), значит, \( \angle MCB = \angle B = 60^{\circ} \). Следовательно, треугольник CMB — равносторонний, и \( CM = MB \).
8. Из равенства медианы половине гипотенузы \( CM = \frac{1}{2}AB \) и \( MB = \frac{1}{2}AB \), а так как \( BC = CM \) (из равностороннего треугольника CMB), то \( BC = \frac{1}{2}AB \).

Обратное утверждение: Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.

Доказательство обратного утверждения:

1. Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, \( \angle C = 90^{\circ} \), и катет \( BC = \frac{1}{2}AB \).
2. Построим медиану CM к гипотенузе AB. По свойству медианы прямоугольного треугольника, \( CM = AM = MB = \frac{1}{2}AB \).
3. Из условия \( BC = \frac{1}{2}AB \) и \( CM = \frac{1}{2}AB \) следует, что \( BC = CM \).
4. Следовательно, треугольник CMB — равнобедренный. Углы при основании равны: \( \angle MCB = \angle B \).
5. В прямоугольном треугольнике ABC \( \angle A + \angle B = 90^{\circ} \).
6. Сумма углов в треугольнике AMC: \( \angle A + \angle ACM + \angle AMC = 180^{\circ} \). \( \angle AMC = 180^{\circ} - \angle BCM = 180^{\circ} - \angle B \).
7. \( \angle A + \angle ACM + 180^{\circ} - \angle B = 180^{\circ} \)
8. \( \angle A + \angle ACM - \angle B = 0 \)
9. \( \angle A + \angle ACM = \angle B \)
10. Так как \( \angle A + \angle B = 90^{\circ} \), то \( \angle A = 90^{\circ} - \angle B \).
11. Подставляем \( \angle A \): \( (90^{\circ} - \angle B) + \angle ACM = \angle B \).
12. \( 90^{\circ} + \angle ACM = 2 \angle B \).
13. В треугольнике ABC \( \angle A + \angle B = 90^{\circ} \). \( \angle A = 90^{\circ} - \angle B \).
14. В треугольнике AMC: \( \angle A + \angle ACM + \angle AMC = 180^{\circ} \). \( \angle ACM = \angle A \) (так как \( BC = CM \) и \( AB = 2CM \), то \( BC = CM = AM \)).
15. \( \angle A + \angle A + \angle AMC = 180^{\circ} \)
16. \( 2\angle A + \angle AMC = 180^{\circ} \)
17. \( \angle AMC = 180^{\circ} - \angle B \)
18. \( 2\angle A + 180^{\circ} - \angle B = 180^{\circ} \)
19. \( 2\angle A = \angle B \)
20. Так как \( \angle A + \angle B = 90^{\circ} \), то \( \angle A + 2\angle A = 90^{\circ} \)
21. \( 3\angle A = 90^{\circ} \)
22. \( \angle A = 30^{\circ} \).

Ответ: Сформулировано обратное утверждение и доказано свойство и его обратное утверждение.