Доказать теорему о сумме углов треугольника двумя способами, заполняя пропуски в доказательстве.

Дано: \(\triangle ABC\) Доказать: \(\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = 180^\circ\) **1-й способ (рис. а):** 1) Дополнительное построение: Через вершину B проведена прямая \(a\) так, что \(a \parallel AC\). 2) \(\angle 1 = \angle 3\) (как накрест лежащие углы при параллельных \(a\) и \(AC\) и секущей \(AB\)). 3) \(\angle 4 = \angle 5\) (как накрест лежащие углы при параллельных \(a\) и \(AC\) и секущей \(BC\)). 4) \(\angle 4 + \angle 2 + \angle 5 = 180^\circ\) (как развёрнутый угол при вершине B). 5) \(\angle 3 + \angle 2 + \angle 1 = 180^\circ\) (учитывая равенства в пунктах 2, 3, 4), что и требовалось доказать. **2-й способ (рис. б):** 1) Дополнительное построение: Через вершину C проведена прямая \(b\) так, что \(b \parallel AB\). 2) \(\angle 2 = \angle 4\) (как накрест лежащие углы при параллельных \(AB\) и секущей \(BC\)). 3) \(\angle 1 = \angle 5\) (как накрест лежащие углы при параллельных \(AB\) и секущей \(AC\)). 4) \(\angle 4 + \angle 3 + \angle 5 = 180^\circ\) (как развёрнутый угол при вершине C). 5) \(\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = 180^\circ\) (учитывая равенства в пунктах 2, 3, 4), что и требовалось доказать. **Объяснение для школьника:** * **Теорема о сумме углов треугольника**: Сумма внутренних углов любого треугольника всегда равна 180 градусам. * **1-й способ**: Мы проводим прямую, параллельную основанию треугольника, через противоположную вершину. Используем накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущих, чтобы показать, что сумма углов, прилегающих к вершине, через которую проведена параллельная прямая, равна 180 градусам. Заменяем эти углы на углы треугольника и получаем, что сумма углов треугольника равна 180 градусам. * **2-й способ**: Мы снова проводим прямую, параллельную одной из сторон треугольника, но на этот раз через другую вершину. Опять используем накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущих, чтобы показать, что сумма углов, прилегающих к вершине, через которую проведена параллельная прямая, равна 180 градусам. Заменяем эти углы на углы треугольника и получаем, что сумма углов треугольника равна 180 градусам. * **Накрест лежащие углы**: Когда две параллельные прямые пересекаются секущей, углы, которые находятся по разные стороны от секущей и внутри параллельных прямых, называются накрест лежащими. Они равны. * **Развернутый угол**: Угол, образованный прямой линией, равен 180 градусам.