465 Доказать тождество: 1) $$(1 - \cos \alpha) (1 + \cos \alpha) = \sin^2 \alpha$$; 2) $$(1 - \sin \alpha) (1 + \sin \alpha) = \cos^2 \alpha$$; 3) $$\frac{\sin^2 \alpha}{1 - \sin^2 \alpha} = tg^2 \alpha$$; 4) $$\frac{\cos^2 \alpha}{1 - \cos^2 \alpha} = ctg^2 \alpha$$; 5) $$\frac{1}{1 + tg^2 \alpha} + \sin^2 \alpha = 1$$; 6) $$\frac{1}{1 + ctg^2 \alpha} + \cos^2 \alpha = 1$$. 466 Упростить выражение: 1) $$\cos \alpha \cdot tg \alpha - 2 \sin \alpha$$; 2) $$\cos \alpha - \sin \alpha \cdot ctg \alpha$$; 3) $$\frac{\sin^2 \alpha}{1 + \cos \alpha}$$; 4) $$\frac{\cos^2 \alpha}{1 - \sin \alpha}$$.

Здравствуйте, ребята! Сегодня мы с вами займемся доказательством тригонометрических тождеств и упрощением выражений. Давайте приступим к решению задач. **465. Доказать тождество:** 1) $$(1 - \cos \alpha) (1 + \cos \alpha) = \sin^2 \alpha$$; Применим формулу разности квадратов: $$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$$. $$(1 - \cos \alpha) (1 + \cos \alpha) = 1 - \cos^2 \alpha$$. Основное тригонометрическое тождество: $$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$, следовательно, $$1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha$$. Таким образом, $$1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha$$. Тождество доказано. 2) $$(1 - \sin \alpha) (1 + \sin \alpha) = \cos^2 \alpha$$; Аналогично, применим формулу разности квадратов: $$(1 - \sin \alpha) (1 + \sin \alpha) = 1 - \sin^2 \alpha$$. Из основного тригонометрического тождества: $$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$, следовательно, $$1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$$. Таким образом, $$1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$$. Тождество доказано. 3) $$\frac{\sin^2 \alpha}{1 - \sin^2 \alpha} = tg^2 \alpha$$; Из основного тригонометрического тождества: $$1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$$. Тогда: $$\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = tg^2 \alpha$$. Так как $$tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$$, то $$tg^2 \alpha = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}$$. Тождество доказано. 4) $$\frac{\cos^2 \alpha}{1 - \cos^2 \alpha} = ctg^2 \alpha$$; Из основного тригонометрического тождества: $$1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha$$. Тогда: $$\frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = ctg^2 \alpha$$. Так как $$ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$$, то $$ctg^2 \alpha = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}$$. Тождество доказано. 5) $$\frac{1}{1 + tg^2 \alpha} + \sin^2 \alpha = 1$$; Используем тождество: $$1 + tg^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$$. Тогда: $$\frac{1}{\frac{1}{\cos^2 \alpha}} + \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha$$. Основное тригонометрическое тождество: $$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$. Тождество доказано. 6) $$\frac{1}{1 + ctg^2 \alpha} + \cos^2 \alpha = 1$$. Используем тождество: $$1 + ctg^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$$. Тогда: $$\frac{1}{\frac{1}{\sin^2 \alpha}} + \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha$$. Основное тригонометрическое тождество: $$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$. Тождество доказано. **466. Упростить выражение:** 1) $$\cos \alpha \cdot tg \alpha - 2 \sin \alpha$$; Так как $$tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$$, то $$\cos \alpha \cdot tg \alpha = \cos \alpha \cdot \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \sin \alpha$$. Тогда: $$\sin \alpha - 2 \sin \alpha = -\sin \alpha$$. 2) $$\cos \alpha - \sin \alpha \cdot ctg \alpha$$; Так как $$ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$$, то $$\sin \alpha \cdot ctg \alpha = \sin \alpha \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \cos \alpha$$. Тогда: $$\cos \alpha - \cos \alpha = 0$$. 3) $$\frac{\sin^2 \alpha}{1 + \cos \alpha}$$; Используем основное тригонометрическое тождество: $$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha$$. Тогда: $$\frac{1 - \cos^2 \alpha}{1 + \cos \alpha} = \frac{(1 - \cos \alpha)(1 + \cos \alpha)}{1 + \cos \alpha} = 1 - \cos \alpha$$. 4) $$\frac{\cos^2 \alpha}{1 - \sin \alpha}$$. Умножим числитель и знаменатель на $$(1 + \sin \alpha)$$: $$\frac{\cos^2 \alpha (1 + \sin \alpha)}{(1 - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha)} = \frac{\cos^2 \alpha (1 + \sin \alpha)}{1 - \sin^2 \alpha}$$. Так как $$1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$$, то: $$\frac{\cos^2 \alpha (1 + \sin \alpha)}{\cos^2 \alpha} = 1 + \sin \alpha$$. Надеюсь, вам все понятно. Если есть вопросы, не стесняйтесь задавать!