3 Доказать тождество: 1) 3 cos 2α + sin² α – cos² α = 2 cos 2α; 2) (sin 5α - sin 3α) / (2 cos 4α) = sin α.

1) Докажем тождество: $$3 cos 2\alpha + sin^2 \alpha - cos^2 \alpha = 2 cos 2\alpha$$

Используем формулу $$cos 2\alpha = cos^2 \alpha - sin^2 \alpha$$. Тогда:

$$3 cos 2\alpha + sin^2 \alpha - cos^2 \alpha = 3 cos 2\alpha - (cos^2 \alpha - sin^2 \alpha) = 3 cos 2\alpha - cos 2\alpha = 2 cos 2\alpha$$

Что и требовалось доказать.

2) Докажем тождество: $$\frac{sin 5\alpha - sin 3\alpha}{2 cos 4\alpha} = sin \alpha$$

Разность синусов: $$sin 5\alpha - sin 3\alpha = 2 cos \frac{5\alpha + 3\alpha}{2} sin \frac{5\alpha - 3\alpha}{2} = 2 cos 4\alpha sin \alpha$$

Тогда: $$\frac{sin 5\alpha - sin 3\alpha}{2 cos 4\alpha} = \frac{2 cos 4\alpha sin \alpha}{2 cos 4\alpha} = sin \alpha$$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Тождества доказаны.