5. Доказать тождество cos 4α + 1 = \frac{1}{2}sin 4a (ctga - tga).

Решение:

Докажем тождество:

cos 4α + 1 = \(\frac{1}{2}\)sin 4α (ctg α - tg α)

Преобразуем правую часть:

\(\frac{1}{2}\)sin 4α (ctg α - tg α) = \(\frac{1}{2}\)sin 4α (\(\frac{cos \alpha}{sin \alpha}\) - \(\frac{sin \alpha}{cos \alpha}\))

Приведем к общему знаменателю:

\(\frac{1}{2}\)sin 4α (\(\frac{cos^2 \alpha - sin^2 \alpha}{sin \alpha cos \alpha}\))

В числителе cos² α - sin² α = cos 2α, поэтому:

\(\frac{1}{2}\)sin 4α (\(\frac{cos 2\alpha}{sin \alpha cos \alpha}\)) = \(\frac{1}{2}\) \(\frac{sin 4\alpha cos 2\alpha}{sin \alpha cos \alpha}\)

sin 4α = 2 sin 2α cos 2α, поэтому:

\(\frac{1}{2}\) \(\frac{2 sin 2\alpha cos 2\alpha cos 2\alpha}{sin \alpha cos \alpha}\) = \(\frac{sin 2\alpha cos^2 2\alpha}{sin \alpha cos \alpha}\)

sin 2α = 2 sin α cos α, поэтому:

\(\frac{2 sin \alpha cos \alpha cos^2 2\alpha}{sin \alpha cos \alpha}\) = 2 cos² 2α

Используем формулу cos 4α = 2 cos² 2α - 1:

2 cos² 2α = cos 4α + 1

cos 4α + 1 = cos 4α + 1

Тождество доказано.