Доказательство теоремы о медианах треугольника

Здравствуйте, ребята! Сегодня мы с вами докажем теорему о медианах треугольника, которая гласит, что если две медианы треугольника перпендикулярны друг другу, то для его сторон (a), (b) и (c) выполняется равенство (a^2 + b^2 = 5c^2). **Доказательство:** Пусть дан треугольник (ABC), в котором медианы (AA_1) и (BB_1) перпендикулярны друг другу и пересекаются в точке (O). Обозначим стороны треугольника как (BC = a), (AC = b), (AB = c). 1. **Свойство медиан:** Медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины. Следовательно, (AO = \frac{2}{3}AA_1) и (OA_1 = \frac{1}{3}AA_1), (BO = \frac{2}{3}BB_1) и (OB_1 = \frac{1}{3}BB_1). 2. **Применение теоремы Пифагора:** Так как медианы (AA_1) и (BB_1) перпендикулярны, треугольник (AOB) является прямоугольным. По теореме Пифагора: (AO^2 + BO^2 = AB^2) \[(\frac{2}{3}AA_1)^2 + (\frac{2}{3}BB_1)^2 = c^2\] \[\frac{4}{9}AA_1^2 + \frac{4}{9}BB_1^2 = c^2\] \[4(AA_1^2 + BB_1^2) = 9c^2\qquad (1)\] 3. **Выражение для медиан:** Известно, что медиана треугольника может быть выражена через его стороны. Для медиан (AA_1) и (BB_1) имеем: (AA_1^2 = \frac{1}{4}(2b^2 + 2c^2 - a^2)), (BB_1^2 = \frac{1}{4}(2a^2 + 2c^2 - b^2)). 4. **Подстановка в уравнение (1):** Подставим выражения для (AA_1^2) и (BB_1^2) в уравнение (1): \[4(\frac{1}{4}(2b^2 + 2c^2 - a^2) + \frac{1}{4}(2a^2 + 2c^2 - b^2)) = 9c^2\] \[(2b^2 + 2c^2 - a^2) + (2a^2 + 2c^2 - b^2) = 9c^2\] \[a^2 + b^2 + 4c^2 = 9c^2\] \[a^2 + b^2 = 5c^2\] Таким образом, мы доказали, что если две медианы треугольника перпендикулярны друг другу, то выполняется равенство (a^2 + b^2 = 5c^2). **Разъяснение для учеников:** * Мы начали с того, что вспомнили свойство медиан: они делятся точкой пересечения в отношении 2:1. * Затем использовали теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного медианами. * Далее выразили длины медиан через стороны треугольника, что позволило нам установить связь между сторонами и медианами. * Подставив эти выражения в уравнение, полученное из теоремы Пифагора, мы получили нужное нам равенство. Надеюсь, это объяснение поможет вам лучше понять доказательство этой теоремы. Если у вас есть вопросы, не стесняйтесь задавать!